Plantilla:Ecuación de segundo grado

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1 Ecuación de segundo grado

Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita, $x\;\!$ , es aquella que tiene o se puede reducir a la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

Si algún coeficiente,"b" o "c", es cero la ecuación diremos que es incompleta. En caso contrario diremos que es completa.

Ejemplos

$2x+3x^2=1-x\;$ es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: $3x^2+3x-1=0\;$
$2x+3x^2=2x-3\;$ es una ecuación de segundo grado incompleta, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: $3x^2+3=0\;$
$2x+3x^2+1=1-x\;$ es una ecuación de segundo grado completa, ya que se puede reducir a la siguiente forma general: $3x^2+3x=0\;$
$2x+3x^2=1+3x^2\;$ no es una ecuación de segundo grado, ya que al reducirla resulta una ecuación de primer grado: $2x-1=0\;$

La ecuación de segundo grado (3´38") Sinopsis:

Definición de ecuación de segundo grado.

La ecuación de segundo grado Descripción:

Actividades en la que aprenderás a identificar los coeficientes de una ecuación de segundo grado y a determinar si es completa o incompleta.

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

Ecuaciones de segundo grado: definición, resolución, propiedades. (16´21") Sinopsis:

Definición de ecuación de segundo grado.
Fórmula para su resolución con su demostración.
Definición de discriminante de una ec. de segundo grado y su relación con el número de soluciones de ésta y con ejemplos de cada caso.
Factorización del polinomio de segundo grado a partir de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado.
Propiedades del producto y la suma de las raíces de la ecuación con su demostración.
Ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ecuación de segundo grado completa

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

son:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

donde el signo $(\pm)$ significa que una solución se obtiene con el signo $(+)\;\!$ y otra con el signo $(-)\;\!$ .

Demostración:

A continuación tienes la demostración en videtutorial y por escrito:

Demostración

Demostración 1 (1'00") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 2 (10'05") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 3 (7'48") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración 4 (9'13") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración:

1. Se divide la ecuación por $a\;\!$ :

$x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

2. Se multiplica y divide por $2\;\!$ el coeficiente de la $x\;\!$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

3. Se suma a los dos miembros de la igualdad $\cfrac{b^2}{4a^2}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}$

4. Se pasa restando a la derecha $\cfrac{c}{a}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de $\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2$ :

$\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:

$x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

7. Se despeja x:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

8. Se simplifica la expresión:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado resueltas

En la escena, pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos.

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula

Tutorial 1 (cómo usar la fórmula) (7'37") Sinopsis:

Cómo utilizar la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Tutorial 2 (8'37") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 3 (14'06") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado aplicando la fórmula general de resolución.

Tutorial 4 (16'33") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 5a (8'34") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Tutorial 5b (13'08") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'17") Sinopsis:

Escribe en forma general e identifica los coeficientes "a", "b", y "c": $6 x 2 + 3 = 2 x - 6$ .

Ejercicio 2 (8'38") Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: $- x 2 + 8 x = 1$ .

Ejercicio 3 (4'53") Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: $- 3 x 2 + 10 x - 3 = 0$ .

Ejercicio 4 (6'58") Sinopsis:

Resuelve usando la fórmula: $- 7 q 2 + 2 q + 9 = 0$ .

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas mediante la fórmula

Actividad 1 Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Actividad 2 Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 1 Descripción:

Resolver ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado completas.

Autoevaluación 3 Descripción:

Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.
Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".

Ejercicios Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado completas.

Resolución de las ecuaciones de segundo grado

Actividad: Resolución de las ecuaciones de segundo grado

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $4x^2+4x+1=0 \;$

b) $x^2+x-12=0 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve 4x^2+4x+1=0 b) solve x^2+x-12=0

Número de soluciones de la ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, $ax^2+bx+c=0 \;$ , al número:

$\triangle = b^2-4ac$

Proposición

Sea $\triangle$ el discriminante de una ecuación de segundo grado:

Si $\triangle <0$ , la ecuación no tiene solución.
Si $\triangle >0$ , la ecuación tiene dos soluciones.
Si $\triangle =0$ , la ecuación tiene una solución (doble).

Demostración:

La demostración es inmediata teniendo en cuenta la fórmula para la resolución de la ecuación de segundo grado:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

ya que, lo que hay en el radicando, es precisamente el discriminante. Por tanto,

Si su signo es positivo, la raíz existe y da lugar a dos soluciones distintas.
Si su signo es negativo, la raíz no existe y no hay ninguna solución.
Si es cero, la raíz vale cero, y hay dos soluciones iguales (solución doble).

Discriminante y número de soluciones

Tutorial (5'42") Sinopsis:

Número de soluciones de una ecuación de 2º grado. Discriminante.

Ejercicio 1 (3'04") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $x^2+4x-5=0\;$ .

Ejercicio 2 (3'17") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $36x^2-60x+25=0\;$ .

Ejercicio 3 (3'29") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $\cfrac{9}{4}x^2-4x+\cfrac{10}{3}=0\;$ .

Ejercicio 4 (3'42") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $8x^2-3x=0\;$ .

Ejercicio 5 (3'34") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $x^2+9=0\;$ .

Ejercicio 6 (6'58") Sinopsis:

Determinar el número de soluciones de la ecuación $x^2+14x+49=0\;$ .

Discriminate y número de soluciones

Actividad 1 Descripción:

Actividades en la que aprenderás a calcular el discriminante de una ecuación de segundo grado y su utilidad para determinar el número de soluciones de la misma.

Actividad 2 Descripción:

Calcula el número de soluciones de una ecuación de segundo grado:

Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
Copia la ecuación en tu cuaderno y calcula su discriminante.
Teniendo en cuenta el valor del discriminante, determina cuántas soluciones tiene.
Escribe el número de soluciones en el cuadro "Número de soluciones" y pulsa el botón "Solución".

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, $ax^2+bx+c=0 \;$ , al número:

$\triangle = b^2-4ac$

Proposición

Sea $\triangle$ el discriminante de una ecuación de segundo grado:

Si $\triangle <0$ , la ecuación no tiene solución.
Si $\triangle >0$ , la ecuación tiene dos soluciones.
Si $\triangle =0$ , la ecuación tiene una solución (doble).

Demostración:

La demostración es inmediata teniendo en cuenta la fórmula para la resolución de la ecuación de segundo grado:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

ya que, lo que hay en el radicando, es precisamente el discriminante. Por tanto,

Si su signo es positivo, la raíz existe y da lugar a dos soluciones distintas.
Si su signo es negativo, la raíz no existe y no hay ninguna solución.
Si es cero, la raíz vale cero, y hay dos soluciones iguales (solución doble).

Discriminante y número de soluciones

Tutorial (5'42") Sinopsis:

Número de soluciones de una ecuación de 2º grado. Discriminante.

Ejercicio 1 (3'04") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $x^2+4x-5=0\;$ .

Ejercicio 2 (3'17") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $36x^2-60x+25=0\;$ .

Ejercicio 3 (3'29") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $\cfrac{9}{4}x^2-4x+\cfrac{10}{3}=0\;$ .

Ejercicio 4 (3'42") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $8x^2-3x=0\;$ .

Ejercicio 5 (3'34") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $x^2+9=0\;$ .

Ejercicio 6 (6'58") Sinopsis:

Determinar el número de soluciones de la ecuación $x^2+14x+49=0\;$ .

Discriminate y número de soluciones

Actividad 1 Descripción:

Actividades en la que aprenderás a calcular el discriminante de una ecuación de segundo grado y su utilidad para determinar el número de soluciones de la misma.

Actividad 2 Descripción:

Calcula el número de soluciones de una ecuación de segundo grado:

Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
Copia la ecuación en tu cuaderno y calcula su discriminante.
Teniendo en cuenta el valor del discriminante, determina cuántas soluciones tiene.
Escribe el número de soluciones en el cuadro "Número de soluciones" y pulsa el botón "Solución".

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado, $ax^2+bx+c=0\;\!$ , es incompleta, si $b=0\;$ ó $c=0\;$ :

Si $b=0:~ ax^2+c=0$

Si $c=0:~ ax^2+bx=0$

Resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas

En el caso $b=0~ (ax^2+c=0 \;)$ , las soluciones se obtienen despejando $x\;$ :

$ax^2+c=0 \ \rightarrow \ ax^2=-c \ \rightarrow \ x^2=-\cfrac{c}{a} \ \rightarrow \ x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}$

En el caso $c=0~ (ax^2+bx=0)$ , las soluciones se obtienen sacando factor común e igualando a cero cada factor:

$ax^2+bx =0 \ \rightarrow \ x \, (ax+b)=0 \ \rightarrow \ \left \{ \begin{matrix} x_1= ~0~~ \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .$

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado incompletas (Caso b=0)

En la escena, pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos.

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado incompletas (Caso c=0)

En la escena, pulsa "INICIO" para ver otros ejemplos.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Tutorial 1a (5'54") Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado sin termino lineal (caso b=0). Ejemplos.

Tutorial 1b (7'04") Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado sin termino independiente (caso c=0). Ejemplos.

Tutorial 2a (8'39") Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso b=0)

Tutorial 2b (8'28") Sinopsis:

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso c=0)

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso b=0):

Ejercicio 1 (2'14") Sinopsis:

Resuelve: $x^2-81=0\;$

Ejercicio 2 (2'33") Sinopsis:

Resuelve: $49-x^2=0\;$

Ejercicio 3 (2'45") Sinopsis:

Resuelve: $36x^2-25=0\;$

Ejercicio 4 (3'16") Sinopsis:

Resuelve: $4y^2-9=0\;$

Ecuaciones de segundo grado incompletas (caso c=0):

Ejercicio 1 (2'47") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+8x=0\;$

Ejercicio 2 (3'17") Sinopsis:

Resuelve: $5x^2-10x=0\;$

Ejercicio 3 (3'41") Sinopsis:

Resuelve: $4x-3x^2=0\;$

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Actividad 1 (caso b=0) Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo b=0.

Actividad 2 (caso c=0) Descripción:

Actividades en la que aprenderás a resolver ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo c=0.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ejercicios Descripción:

Ejercicios resueltos sobre ecuaciones de segundo grado incompletas.

Actividad: Ecuaciones de segundo grado

Resuelve las siguientes ecuaciones:

$a)\ 4x^2+4x+1=0 \quad b)\ 4x^2-25=0 \quad c)\ x^2+x-12=0$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve 4x^2+4x+1=0 b) solve 4x^2-25=0 c) solve x^2+x-12=0

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