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Revisión siguiente →Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Un conjunto es una colección de elementos. Un conjunto puede ser, a su vez, considerado como un elemento de otro conjunto. Los elementos de un conjunto, pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras geométricas]], etc. Se dice que un elemento pertenece al conjunto si está contenido en él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
- Plantilla:Math
Un conjunto se dice que está definido por comprensión si se hace mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.
Un conjunto se dice que está definido por extensión si se hace dando la lista de todos sus elementos
Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de "ser un número primo menor que 15", entonces, el conjunto de los números primos menores que 15 sería:
- Por extensión: No se pudo entender (error de sintaxis): P= \left{ 2, 3, 5, 7, 11, 13 \right}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, Cuando un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
No se pudo entender (error de sintaxis): S= \left{ Lunes,~ Martes,~ Miércoles,~ Jueves,~ Viernes \right}= \left{ Martes,~ Viernes,~ Jueves,~ Lunes,~ Miércoles \right}=\left{ Lunes,~ Lunes, ~Martes,~ Miércoles,~ Jueves,~ Viernes \right}<\math><\center> Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del Sistema Solar es finito. == Definición == {{Caja_amarill|texto=Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.}} Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman '''elementos''' o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo <math> \in <\math>. Este símbolo lo introdujo Peano. La expresión <math>a \in A <\math> se lee entonces como «''a'' pertenece a ''A''». Para la noción contraria se usa el símbolo <math> \notin <\math>. === Notación === [[Archivo:Membership.svg|thumb|280px|'''Relación de pertenencia.''' El conjunto {{math|''A''}} es un conjunto de [[polígono]]s. En la imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.]] Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos {{math|''A''}} y {{math|''D''}} se usa una [[intención|definición intensiva]] o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos {{math|''B''}} y {{math|''C''}} se usa una [[Extensión (semántica)|definición extensiva]], listando todos sus elementos explícitamente. Es habitual usar [[paréntesis|llaves]] para escribir los elementos de un conjunto, de modo que: :{{math|''B'' {{=}} {verde, blanco, rojo}|}} :{{math|''C'' {{=}} {a, e, i, o, u}|}} Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad: :{{math|''A'' {{=}} {Números naturales menores que 5}|}} :{{math|''D'' {{=}} {Palos de la baraja francesa}|}} Otra notación habitual para denotar por comprensión es: :{{math|''A'' {{=}} {''m'' : ''m'' es un número natural, y 1 ≤ ''m'' ≤ 5}|}} :{{math|''D'' {{=}} {''p'' : ''p'' es un palo de la baraja francesa}|}} :{{math|''F'' {{=}} {''n''<sup>2</sup> : ''n'' es un entero y 1 ≤ ''n'' ≤ 10}|}}, En estas expresiones los [[dos puntos]] («:») significan «tal que». Así, el conjunto {{math|''F''}} es el conjunto de «los números de la forma {{math|''n''<sup>2</sup>}} tal que {{math|''n''}} es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros [[cuadrado (álgebra)|cuadrados]] de [[números naturales]]. En lugar de los dos puntos se utiliza también la [[barra vertical]] («|») u [[barra (tipografía)|oblicua]] «/» . === Igualdad de conjuntos === [[Archivo:PersonsSet.svg|thumb|280px|'''Conjunto de personas.''' El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, {{math|''A''}}, tiene 8 [[elemento de un conjunto|miembros]]. Este conjunto puede representarse mediante [[paréntesis|llaves]] o mediante un [[diagrama de Venn]]. El orden de las personas en {{math|''A''}} es irrelevante.]] Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como: {{definición|título=Propiedad de la [[Axioma de extensionalidad|extensionalidad]]|1=Dos conjuntos {{math|''A''}} y {{math|''B''}} que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, {{math|1=''A'' = ''B''}}.}} Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto {{math|''A''}} de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que {{math|''A′''}}, el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También: :{{math|''B'' {{=}} {verde, blanco, rojo} {{=}} {colores de la bandera de México}|}} :{{math|''C'' {{=}} {a, e, i, o, u} {{=}} {[[vocales]] del [[idioma español|español]]}|}} :{{math|''D'' {{=}} {Palos de la baraja francesa} {{=}} {♠, ♣, ♥, ♦}|}} El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos: :{{math|''B'' {{=}} {verde, blanco, rojo} {{=}} {rojo, verde, blanco}|}} :{{math|''C'' {{=}} {a, e, i, o, u} {{=}} {e, i, u, a, o}|}} Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo: :{{math|{1, 2} {{=}} {1, 2, 1}|}} En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto de la derecha es que «1» es uno de sus elementos. === Conjunto vacío === {{AP|Conjunto vacío}} El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por {{math|{{unicode|∅}}}} o simplemente {}. Existe un único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos. === Subconjuntos === {{AP|Subconjunto}} [[Archivo:Subset-2.svg|thumb|280px|'''Subconjunto.''' {{math|''B''}} es un [[subconjunto]] de {{math|''A''}} (en particular un [[subconjunto propio]]).]] Un subconjunto {{math|''A''}} de un conjunto {{math|''B''}}, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de {{math|''B''}} (o quizá todos): {{definición|1=Un conjunto {{math|''A''}} es un '''subconjunto''' del conjunto {{math|''B''}} si cada elemento de {{math|''A''}} es a su vez un elemento de {{math|''B''}}. }} Cuando {{math|''A''}} es un subconjunto de {{math|''B''}}, se denota como {{math|''A'' {{unicode|⊆}} ''B''}} y se dice que «{{math|''A''}} está contenido en {{math|''B''}}». También puede escribirse {{math|''B'' {{unicode|⊇}} ''A''}}, y decirse que {{math|''B''}} es un '''superconjunto''' de {{math|''A''}} y también «{{math|''B''}} contiene a {{math|''A''}}» o «{{math|''B''}} incluye a {{math|''A''}}». Todo conjunto {{math|''A''}} es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de {{math|''A''}} es a su vez un elemento de {{math|''A''}}». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de '''subconjunto propio''': {{math|''A''}} es un subconjunto propio de {{math|''B''}} si es un subconjunto de {{math|''B''}} pero no es igual a {{math|''B''}}. Se denota como {{math|''A'' {{unicode|⊊}} ''B''}}, es decir: {{math|''A'' {{unicode|⊆}} ''B''}} pero {{math|''A'' ≠ ''B''}} (y equivalentemente, para un superconjunto propio, {{math|''B'' {{unicode|⊋}} ''A''}}).<ref group="n">También se utiliza la notación {{math|''A'' {{unicode|⊂}} ''B''}} y {{math|''B'' {{unicode|⊃}} ''A''}}, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, {{math|''A'' {{unicode|⊆}} ''B''}} y {{math|''B'' {{unicode|⊇}} ''A''}}; o subconjunto propio, {{math|''A'' {{unicode|⊊}} ''B''}} y {{math|''B'' {{unicode|⊋}} ''A''}}. Véase [[Subconjunto]].</ref> '''Ejemplos.''' :El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas». :{{math|{1, 3} {{unicode|⊊}} {1, 2, 3, 4}}} :{{math|{1, 2, 3, 4} {{unicode|⊆}} {1, 2, 3, 4}}} === Conjuntos disjuntos === {{ap|Conjuntos disjuntos}} Dos conjuntos {{math|''A''}} y {{math|''B''}} son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los [[números racionales]] y los [[números irracionales]] son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La [[intersección de conjuntos|intersección]] de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.
