Concepto de sucesión (1ºBach)

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Sucesión de números reales

(pág. 52)

Una sucesión de números reales es una función f \;, que a cada número natural n \; le asocia un número real a_n \;

\begin{matrix}f: & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ \ & n & \longrightarrow & a_n \end{matrix}

Esto genera el conjunto ordenado

\{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \}

que se llaman los términos de la sucesión.

Se suele identificar a la sucesión con sus términos. Normalmente hablaremos de la sucesión de términos \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \} en lugar de la sucesión f \;.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Concepto de sucesión

Descubre el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y añade dos términos más a cada una:
a) \{ 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... \} \;
b) \{ 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... \} \;
c) \{ 1, -3, 9, -27, 81, ... \} \;
d) \{ 2, 4, 6, 10, 16, 26, ... \} \;
e) \{ 110, 90, 70, 50, 30, ... \} \;
f) \{ 1, -4, 9, -16, 25, -36, ... \} \;

Ejercicios

(pág. 52)

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Ejercicios propuestos: Concepto de sucesión

1. Descubre el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y añade dos términos más a cada una:

a) \{ 3, 8, 13, 18, 23, ... \} \;
b) \{ 1, 8, 27, 64, 125, ... \} \;
c) \{ 1, 10, 100, 1000, 10000, ... \} \;
d) \{ 8, 4, 2, 1, 0.5, ... \} \;
e) \{ 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... \} \;
f) \{ 8, 3, 5, -2, 7, -9, ... \} \;
g) \{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... \} \;
h) \{ 20, 13, 6, -1, -8, ... \} \;

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

ejercicio

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo

El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:

"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"

a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.

b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo (\phi\;):

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...

 

Término general de una sucesión

(pág. 53)

Se llama término general de una sucesión, y se simboliza por a_n\;, al término que representa a uno cualquiera de ella. La sucesión correspondiente se representa de forma abreviada por \{ a_n\} \;

  • Hay veces que el término general se puede expresar mediante una fórmula: a_n=f(n)\;. Dándole a n un valor, se obtiene el término correspondiente.
  • Otras veces, cada término de la sucesión se obtiene a partir de operaciones con otros términos anteriores. A estas sucesiones se les llama recurrentes. En ellas, para hallar un término, tenemos que hallar todos los anteriores. En estos casos se suele dar una ley de recurrencia, una regla que relaciona cada término con sus anteriores.

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Ejercicios resueltos: Término general de una sucesión

Halla el término general (si se puede) o la ley de recurrencia de las siguientes sucesiones:
a) \{ 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... \} \;
b) \{ 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... \} \;
c) \{ 1, -3, 9, -27, 81, ... \} \;
d) \{ 2, 4, 6, 10, 16, 26, ... \} \;
e) \{ 110, 90, 70, 50, 30, ... \} \;
f) \{ 1, -4, 9, -16, 25, -36, ... \} \;

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Actividad: Termino general de una sucesión

1. Intenta escribir una expresión que sirva para calcular cualquier término de las sucesiones siguientes:
a) \{1,2,3,4,5,...\}\;     b) \{1,4,9,16,...\}\;     c) \{1,3,5,7,...\}\;
d) \{ {1 \over 2},{1 \over 4},{1 \over 8},{1 \over 16},{1 \over 32},...\}      e) \{-1,1,-1,1,-1,...\}\;     f) \{1,-1,1,-1,1,...\}\;

2. Dada la sucesión de término general a_n=n^2-4n\;:
a) Halla los cinco primeros términos.
b) Halla el término a_{10} \;

3. Escribe los primeros términos de la sucesión cuyo primer término es 2 y todos los demás se obtienen sumando 5 al término anterior.

Ejercicios

(pág. 53)

ejercicio

Ejercicios propuestos: Término general d una sucesión

    2. Forma una sucesión recurrente con los siguientes datos:

        a_1=2, \ a_2=3, \ a_n=a_{n-2}+a_{n-1}

    3. Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen como témino general:

        a_n=3+5(n-1), \ b_n=3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}, \ c_n=(-1)^n \, 2^n

        d_n=(n-1)(n-2), \ e_n=n^2+(-1)^n \, n^2

    4. Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea a_n=a_{n-1}+n \;

    5. Da el término general de las sucesiones siguientes que no sean recurrentes:

        a) \{ 3, 8, 13, 18, 23, ... \} \;

        b) \{ 1, 8, 27, 64, 125, ... \} \;

        c) \{ 1, 10, 100, 1000, 10000, ... \} \;

        d) \{ 8, 4, 2, 1, 0.5, ... \} \;

        e) \{ 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... \} \;

        f) \{ 8, 3, 5, -2, 7, -9, ... \} \;

        g) \{ 1, -2, 3, -4, 5, -6, ... \} \;

        h) \{ 20, 13, 6, -1, -8, ... \} \;

Videotutoriales

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