Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)

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Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, d\;\!, que llamaremos diferencia.

Escrito en forma recursiva:

a_n=a_{n-1} + d \ , \ \forall n>1

Por ejemplo, la sucesión u_n\;:

Imagen:prog_aritmetica.png

es una progresión aritmética con diferencia d = 4\;.

video
Progresiones aritméticas
Tutorial (3´42")     Sinopsis:

Progresiones aritméticas: definición y ejemplos.

Ejercicio 1 (2´08")     Sinopsis:

Determina el quinto término de la siguiente progresión aritmética: {-3, -7, -11, -15, ...}

Ejercicio 2 (3´41")     Sinopsis:

Dados los términos de una progresión aritmética, completar la fórmula de recurrencia.

video
Progresiones aritméticas
Actividad 1     Descripción:

Actividades en las que aprenderás el concepto de progresión aritmética y a cómo identificarlas.

Actividad 2     Descripción:

Actividades de introducción a las sucesiones aritméticas.

Actividad 3     Descripción:

Fórmulas recursivas para sucesiones aritméticas.

Autoevaluación 1     Descripción:

Extiende sucesiones aritméticas.

Autoevaluación 2     Descripción:

Fórmulas recursivas para sucesiones aritméticas.

Tabla de contenidos

Término general de una progresión aritmética

ejercicio

Término general de una progresión aritmética

El término general, a_n\;\!, de una progresión aritmética de diferencia d\;\! es:

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!
Demostración:

En efecto, de forma intuitiva:

a_1 = a_1 + 0 \cdot d \;\!

a_2 = a_1 + d = a_1 + 1 \cdot d \;\!

a_3 = a_2 + d = a_1 + d + d = a_1 + 2 \cdot d \;\!

a_4 = a_3 + d = a_1 +2d + d = a_1 + 3 \cdot d \;\!

........................

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!

Demostración por el método de inducción completa:

Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.

Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:

a_1+(1-1) \cdot d = a_1 + 0 \cdot d = a_1

con lo que queda comprobada para n=1.

Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:

a_n=a_1+(n-1) \cdot d.    [1]

Por ser una progresión aritmética cada término se obtiene sumando d al anterior término:

a_{n+1}= a_n+ d \;    [2]

Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:

a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n+ d \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 + (n-1) \cdot d + d =a_1 + ((n+1)-1) \cdot d

Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.

video
Progresiones aritméticas. Término general
Tutorial 1 (6´59")     Sinopsis:
  • Definición de progresión aritmética.
  • Término general
  • Ejemplos
Tutorial 2 (21'54")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabajan las progresiones aritméticas, la ley de recurrencia y el término general que las genera, así como alguna de sus propiedades básicas.

Tutorial 3a (6´16")     Sinopsis:

Término general de una progresión aritmética: Obtención y ejemplos.

Tutorial 3b (5´34")     Sinopsis:

Término general de una progresión aritmética: Más ejemplos

Tutorial 3c (4´10")     Sinopsis:

Término general de una progresión aritmética a partir de términos intermedios.

Tutorial 4 (10´21")     Sinopsis:
  • Definición de progresión aritmética.
  • Ejemplos
  • Término general
Ejercicio 1 (6´39")     Sinopsis:
  1. Una progresión aritmética tiene como término general a_i=4+3(i-1)\;, halla el término a_{20}\;.
  2. Halla el término a_5\; de una progresión aritmética que viene dada por la siguiente ley de recurrencia:
\begin{cases}a_1=-7 \\ a_i=a_{i-1}-2 \ , \ \forall i>1 \end{cases}
Ejercicio 2 (7´08")     Sinopsis:

Halla el término general y la forma recursiva de las siguientes progresiones aritméticas:

a) {-5, -3, -1, 1, ...}
b) {100, 107, 114, 121, ...}
c) {1, 3, 6, 10, ...}
Ejercicio 3 (9´49")     Sinopsis:

Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

a) {12, 5, -2, -9, ...}
b) {-100, -50, 0, 50, ...}
Ejercicio 4 (5´58")     Sinopsis:

Halla el término 100 de la siguiente progresión aritmética: {15, 9, 3, -3, ...}.

Ejercicio 5 (9´33")     Sinopsis:

Halla la forma recursiva de la progresión aritmética con término general h_n=-31-7(n-1)\;

video
Término general de una progresión aritmética
Actividad 1     Descripción:

Actividad de introducción a las fórmulas de sucesiones aritméticas.

Actividad 2     Descripción:

Actividad para aprender a obtener el término general (fórmula explícita) de sucesiones aritméticas.

Actividad 3     Descripción:

Actividades en las que aprenderás a obtener el término general de una progresión aritmética.

Actividad 4     Descripción:

Convertir formas de sucesiones aritméticas, recursivas y explícitas.

Actividad 5     Descripción:

Repaso de sucesiones aritméticas.

Autoevaluación 1     Descripción:

Usa el término general de progresiones aritméticas.

Autoevaluación 2     Descripción:

Obtén el término general (fórmula explícita) de sucesiones aritméticas.

Autoevaluación 3     Descripción:

Encuentra el término general de una progresión aritmética dada.

Autoevaluación 4     Descripción:

Convertir formas de sucesiones aritméticas, recursivas y explícitas.

Suma de términos de una progresión aritmética

ejercicio

Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}

Demostración:

El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:

En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.

El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos. Intenta enterarte de algo más sobre él.

Demostración:

Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:

a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} \cdots=K

Entonces, si efectuamos la siguiente suma:

S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n

+\;
S_n \ = \ a_n \ + a_{n-1} + a_{n-3}+\cdots + \ ~~a_3\ + \ a_2\ + \ a_1

_______________________________________________________________

2 \cdot S_n= K + ~K \ + ~~K \ ~+ \cdots+ ~~K \ + ~K \ + ~K

por tanto:

S_n=\cfrac{n \cdot K}{2}=\cfrac{n \cdot (a_1+a_n)}{2}

Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética     Descripción:

Actividades en las que aprenderás a obtener de los "n" primeros términos de una progresión aritmética.

video
Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética
Tutorial 1 (4´14")     Sinopsis:

Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Ejemplos.

Tutorial 2 (8´02")     Sinopsis:

Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética con demostración apoyada en la anécdota de Gauss. Ejemplo.

Tutorial 2 (8´47")     Sinopsis:

Demostración de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

Ejercicio (14'29")     Sinopsis:

Halla el valor del ángulo θ, sabiendo que C_\theta\; representa su complementario y S_\theta\; su supementario, teniendo en cuenta que se cumple la siguiente expresión:

C_\theta+ C_{2\theta}+ C_{3\theta} +\cdots+C_{n\theta}=nS_{n\theta}

Autoevaluación: Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética     Descripción:

Suma los n primeros términos de una progresión aritmética dada.

Ejercicios

(pág. 54)

wolfram

Actividad: Progresiones aritméticas

Dada la sucesión {1, 4, 7, 10, 13, 16, ...}:

a) Halla el término general.

b) Halla el término 20.

c) Halla la suma de los 20 primeros términos.

d) Halla la suma de los términos del 8 al 15.

d) Halla la suma de los términos del p al q.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

Tras obtener la solución del apartado a), utilízala para hallas las soluciones de los demás apartados.

a) {1, 4, 7, 10, 13, 16, ...}

b) {3n-2} for n=20

c) sum {3n-2} for n=1 to 20

d) sum {3n-2} for n=8 to 15

e) sum {3n-2} for n=p to q

ejercicio

Ejercicios propuestos: Progresiones aritméticas

    1. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas?. En cada una de ellas di cual es su diferencia y calcula dos términos más:

        a) {3, 7, 11, 15, 19, ...}

        b) {3, 4, 6, 9, 13, 18, ...}

        c) {3, 6, 12, 24, 48, 96, ...}

        d) {10, 7, 4, 1, -2, ...}

        e) {17.4, 15.8, 14.2, 12.6, 11, ...}

        f) {-18, -3.1, 11.8, 26.7, 41.6, ...}

    2. En la sucesión 1a), halla el término 20º y la suma de los 20 primeros términos.

    3. En la sucesión 1d), halla el término 40º y la suma de los 40 primeros términos.

    4. En la sucesión 1e), halla el término 100º y la suma de los 100 primeros términos.

    5. En la sucesión 1e), halla los términos 8º y 17º y la suma de los términos del 8º al 17º.
Solución:
Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones.

Videotutoriales

5 ejercicios (7´51")     Sinopsis:

Sea \{ a_n \} \; una progresión aritmética de diferencia "d":

  1. Determina a_{40} \; sabiendo que a_1=12 \; y d=3.
  2. Determina d sabiendo que a_1=4 \; y a_{18}=-30 \;.
  3. Determina n sabiendo que a_1=-4 \; y a_n=26 \; y d=3.
  4. Determina d, a_1 \; y a_n \; sabiendo que a_{35}=48 \; y a_{45}=-2 \;.
  5. Determina a_5 \; y a_{42} \; sabiendo que a_{19}=108 \; y d=4.

6 ejercicios (10´12")     Sinopsis:

Sea \{ a_n \} \; una progresión aritmética. ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?

  1. a_4 + a_8 = 2 \cdot a_6
  2. a_9 + a_{18} = a_3 + a_{24} \;
  3. a_2 + a_8 = 2 \cdot a_4 \;

Completa las siguientes igualdades:

  1. a_6 + a_{12} =a_8 + \Box \;
  2. a_8 + a_{11} =a_{10} + \Box \;
  3. 2 \cdot a_9 =a_3 + \Box \;

2 problemas (7´47")     Sinopsis:
  1. Sea \{ a_n \} \; una progresión aritmética. Halla a_{10} \; sabiendo que a_2 + a_3 = 2 \; y a_5 + a_7 = 46\;.
  2. Si las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética, determina el perímetro sabiendo que la hipotenusa mide 30 m.

2 problemas (5´18")     Sinopsis:
  1. Determina tres números en progresión aritmética de modo que su suma sea 12 y la suma de sus cuadrados sea 16.
  2. Determina los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que están en progresión aritmética de diferencia 7.

4 ejercicios (7´36")     Sinopsis:

Sea \{ a_n \} \; una progresión aritmética de diferencia d. Determina:

  1. S_{13} \; sabiendo que a_1=4 \; y d=2.
  2. S_{15} \; sabiendo que a_{15}=25 \; y d=2.
  3. S_{20} \; sabiendo que a_{12}=18 \; y d=3.
  4. k sabiendo que a_1=2 \;, d=6 y S_k=70 \;.

4 ejercicios (6´28")     Sinopsis:

Sea \{ a_n \} \; una progresión aritmética de diferencia d. Determina:

  1. d sabiendo que a_1=2 \; y S_{20}=610 \;
  2. S_{26} \; sabiendo que a_{12}=10 \; y a_{16}=18 \;.
  3. a_1 \; sabiendo que d=3 y S_{10} =145 \;.
  4. k sabiendo que a_1=5 \;, a_k=23 \; y S_k=392 \;.

2 problemas (6´08")     Sinopsis:
  1. La suma de los n primeros términos de la sucesión 3, 7, 11, ... es 210. Halla n.
  2. La suma de los 6 primeros términos de una progresión aritmética es 36, siendo a_1 \cdot a_6=11. Determina el término general de la progresión.

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, r\;\!, que llamaremos razón.

Escrito en forma recursiva:

a_n=a_{n-1} \cdot r \ , \ \forall n>1

Por ejemplo, la sucesión u_n\;:

Imagen:prog_geometrica.png

es una progresión geométrica de razón r = 2\;.

video
Progresiones geométricas
Tutorial (5´08")     Sinopsis:

Progresiones geométricas: definición y ejemplos.

Ejercicio 1 (3´03")     Sinopsis:

Halla el quinto término de la siguiente progresión geométrica: \{ -\cfrac{3}{8}, -\cfrac{3}{2}, -6, -24, ...\}

Ejercicio 2 (4´31")     Sinopsis:

Halla el término a_4\; de una progresión aritmética que viene dada por la siguiente ley de recurrencia:

\begin{cases}a_1=-\cfrac{1}{8} \\ a_n=2 \cdot a_{n-1} \ , \ \forall n>1 \end{cases}

video
Progresiones geométricas
Actividad 1     Descripción:

Actividades en las que aprenderás el concepto de progresión geométrica y a cómo identificarlas.

Autoevaluación 1a     Descripción:

Extiende sucesiones geométricas.

Autoevaluación 1b     Descripción:

Extiende sucesiones geométricas con términos negativos y racionales.

Autoevaluación 2     Descripción:

Fórmulas recursivas para sucesiones geométricas.

Término general de una progresión geométrica

ejercicio

Término general de una progresión geométrica

El término general, a_n\;\!, de una progresión geométrica de razón r\;\! es:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Demostración:

En efecto, de forma intuitiva:

a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!

a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r \cdot r = a_1 \cdot r^2 \;\!

a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \;\!

........................

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

Demostración por el método de inducción completa:

Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.

Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:

a_1 = a_1 \cdot r^{1-1} = a_1 \cdot r^0 = a_1

con lo que queda comprobada para n=1.

Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}.    [1]

Por ser una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando por r el anterior término:

a_{n+1}=a_n \cdot r \;    [2]

Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:

a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n \cdot r \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r =a_1 \cdot r^{((n+1)-1)}

Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.

video
Progresiones geométricas
Tutorial 1 (6´24")     Sinopsis:
  • Definición de progresión geométrica.
  • Término general
  • Ejemplos
Tutorial 2 (19'06")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabajan las progresiones geométricas, la ley de recurrencia y el término general que las genera, así como alguna de sus propiedades básicas.

Tutorial 3 (12'34")     Sinopsis:

Término general de una progresión geométrica: Obtención y ejemplos.

Tutorial 4 (11'41")     Sinopsis:
  • Definición de progresión geométrica.
  • Ejemplos.
  • Término general de una progresión geométrica.
Ejercicio 1 (2´46")     Sinopsis:

Una progresión geométrica tiene como término general a_n=3 \cdot \left(-\cfrac{2}{3}\right)^{n-1}, halla el término a_5\;.

Ejercicio 2 (8´32")     Sinopsis:

Halla el término general y la forma recursiva de la siguiente progresión geométrica: {168, 84, 42, , 21, ...}.

Ejercicio 3 (6´39")     Sinopsis:

Halla la fórmula recursiva a partir del término general g_n=9 \cdot 8^{n-1}\;.

Problema 1 (9´35")     Sinopsis:

Problema sobre progresiones geométricas.

video
Término general de una progresión geométrica
Actividad 1     Descripción:

Actividades en las que aprenderás a obtener el término general de una progresión geométrica.

Actividad 2     Descripción:

Progresiones geométricas.

Autoevaluación 1     Descripción:

Usa el término general de una progresión geométrica.

Autoevaluación 2     Descripción:

Halla el término general de una progresión geométrica.

Autoevaluación 3     Descripción:

Convertir formas recursivas y explícitas de sucesiones geométricas.

Autoevaluación 4     Descripción:

Problemas verbales con progresiones geométricas.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Progresión geométrica

En una progresión geométrica de términos positivos, a_1=3\; y a_3 = 6\;. Halla a_n\;, a_{20}\; y a_{21}\;.

Solución:

a_3=a_1 \cdot r^2 \rightarrow 6 = 3 \cdot r^2 \rightarrow r^2=\cfrac{6}{3}=2 \rightarrow r=\pm \sqrt{2}

Como la progresión es de términos positivos, sólo nos vale el valor posivo: r=\sqrt{2}.

a_n= a_1 \cdot r^{n-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{n-1}

a_{20} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{20-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{19} = 3 \cdot 2^9 \cdot \sqrt{2} =1536 \sqrt{2}

a_{21} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{21-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{20} = 3 \cdot 2^{10} =3072

Autoevaluación: Término general de una progresión geométrica     Descripción:

Encuentra el término general de una progresión geométrica dada.

Suma de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de términos de una progresión geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

S_n=\frac{a_1 \cdot(r^n-1)}{r-1}

Demostración:

Efectuamos la siguiente resta:

r \cdot S_n \qquad ~= \qquad \quad a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n +a_n \cdot r

-\;
S_n \ \qquad ~~~~= \ a_1 \ + a_2 \ + a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n

______________________________________________________________________________

r \cdot S_n- S_n= -a_1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~~+a_n \cdot r

por tanto:

S_n(r-1)=a_n r-a_1\;

y despejando

S_n=\cfrac{(a_n \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^n - a_1)}{r-1}=\frac{a_1 \cdot(r^n-1)}{r-1}

Suma de los "n" primeros términos de una progresión geométrica     Descripción:

Actividades en las que aprenderás a obtener de los "n" primeros términos de una progresión geométrica.

video
Suma de términos de una progresión geométrica
Tutorial 1 (3´42")     Sinopsis:

Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. Ejemplos.

Tutorial 2 (4'32")     Sinopsis:

Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. Ejemplos.

Tutorial 3 (6´48")     Sinopsis:

Ejemplos y demostración la fórmula de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Autoevaluación: Suma de los términos de una progresión geométrica     Descripción:

Suma los n primeros términos de progresión geométrica dada.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Suma de términos de una progresión geométrica

Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año?

Solución:

Se trata de un problema típico de aritmética comercial de anualidades de capitalización:

Al comenzar el primer año ingreso 1000 €, que se transforman en 1000 \cdot 1.04^5 al final del quinto año.

Al comenzar el segundo año ingreso 1000 €, que se transforman en 1000 \cdot 1.04^4 al final del quinto año.

Al comenzar el tercer año ingreso 1000 €, que se transforman en 1000 \cdot 1.04^3 al final del quinto año.

Al comenzar el cuarto año ingreso 1000 €, que se transforman en 1000 \cdot 1.04^2 al final del quinto año.

Al comenzar el quinto año ingreso 1000 €, que se transforman en 1000 \cdot 1.04^1 al final del quinto año.

Si sumamos todas esas cantidades:

1000 \cdot 1.04^1 + 1000 \cdot 1.04^2 + 1000 \cdot 1.04^3 + 1000 \cdot 1.04^4 + 1000 \cdot 1.04^5

estaremos sumando los cinco primeros términos de una progresión geométrica con a_1= 1000 \cdot 1.04 y r= 1.04\;

S_5 = \cfrac{a_1 \cdot (r^5 - 1)}{r-1} = \cfrac{1000 \cdot 1.04 \cdot (1.04^5 - 1)}{1.04 -1} = 5632.98 €

Ejercicios: Anualidades de capitalización     Descripción:

Anualidades de capitalización son cantidades fijas que se entregan al principio de cada año para su colocación a interés compuesto con objeto de llegar a constituir un capital al cabo de un determinado número de años.

Ejercicios: Anualidades de amortización     Descripción:

Anualidades de amortización son pagos fijos que se entregan al final de cada año para su colocación a interés compuesto, con objeto de llegar a extinguir o amortizar una deuda juntamente con sus intereses, en un determinado número de años.

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que 0<\; \mid r \mid \; <1 se obtiene así:

S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}
Demostración:
Para la demostración se requiere del concepto de límite. Véase: Algunos límites importantes.

Suma de todos los términos de una progresión geométrica     Descripción:

Actividades en las que aprenderás a obtener la suma de todos los términos de una progresión geométrica, siempre que ésto sea posible.

video
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
Tutorial 1 (5´48")     Sinopsis:

Fórmula de la suma de todos los términos de una progresión geométrica. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'37")     Sinopsis:

Fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. Ejemplos.

Producto de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Producto de "n" términos de una progresión geométrica

El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}

Demostración:
Véase en el siguiente videotutorial.

Producto de "n" primeros términos de una progresión geométrica     Descripción:

Actividades en las que aprenderás a obtener el producto de los "n" primeros términos de una progresión geométrica.

Producto de los "n" primeros términos de una progresión geométrica (7´32")     Sinopsis:

Demostración de la fórmula del producto de n términos de una progresión geométrica

Ejercicios

wolfram

Actividad: Progresiones geométricas

Dada la sucesión {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}:

a) Halla el término general.

b) Halla el término 10.

c) Halla el producto de los 10 primeros términos.

d) Halla la suma de los términos del 10 al 15.

e) Halla la suma de los infinitos términos.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

Tras obtener la solución del apartado a), utilízala para hallas las soluciones de los demás apartados.

a) {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}

b) {2^(-n+1)} for n=10

c) product {2^(-n+1)} for n=1 to 10

d) sum {2^(-n+1)} for n=10 to 15

d) sum {2^(-n+1)} for n=1 to oo


ejercicio

Ejercicios propuestos: Progresiones geométricas

    1. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas?. En cada una de ellas di cual es su razón y calcula dos términos más:

        a) {1, 3, 9, 27, 81, ...}

        b) {100, 50, 25, 12.5, ...}

        c) {12, 12, 12, 12, 12, 12, ...}

        d) {5, -5, 5, -5, 5, ...}

        e) {90, -30, 10, -10/3, 10/9, ...}

    2. Calcula la suma de los 10 primeros términos de las sucesiones del ejercicio anterior.

    3. En cuáles de las progresiones geometricas del ejercicio anterior puedes calcular la suma de sus infinitos términos?. Hállala.
Solución:
Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones.

Videotutoriales

Ejercicio (4'17")     Sinopsis:

Determina tres números en progresión geométrica de manera que su producto sea 216 y su suma 19.

2 ejercicios (6'04")     Sinopsis:
  1. Determina la progresión geométrica tal que a_1+a_3+a_5=84 \; y a_2+a_4+a_6=168 \;.
  2. Determina tres números en progresión geométrica de manera que su suma sea 28 y la diferencia entre el tercero y el primero sea 12.

Ejercicio (7'27")     Sinopsis:

Determina tres números en progresión geométrica de manera que al sumar 2 al segundo resulta una progresión aritmética, y al sumar 9 al tercero de ésta última resulta una progresión geométrica.

3 ejercicios (8´14")     Sinopsis:

Sea {an} una progresión geométrica de razón r. Determina:

  1. S_6 \; sabiendo que a_4=125 \; y a_7=15625 \;
  2. a_3 \; sabiendo que r=2 y S_{15}=98301 \;
  3. n sabiendo que a_3 =4 \;, r=2 y S_n=31 \;

Ejercicio (3´22")     Sinopsis:

Resuelve la ecuación: 1+ \frac{x}{x-1}+ \left ( \frac{x}{x-1} \right )^2+ \cdots + \left ( \frac{x}{x-1} \right )^7=0

Capitalización compuesta (6´42")     Sinopsis:

Fórmula para la obtención del capital final en un sistema de capitalización o interés compuesto como aplicación de las progresiones geométricas.

4 ejercicios (de capitalización compuesta) (6´22")     Sinopsis:
  1. Determina el montante obtenido al invertir 1500 € durante 5 años al 9% de interés compuesto anual.
  2. Determina el capital C que debe invertirse durante 4 años al 7% de interés compuesto anual para obtener un montante de 3000 €.
  3. Si el montante obtenido al cabo de 5 años por un capital de 1350 € es de 1702.57 €, calcula el tipo de interés compuesto anual.
  4. Si el interés compuesto anual es del 5%, calcula el tiempo que ha estado invertido un capital de 2100 € si el montante obtenido es de 2954.91 €

Fondo de pensiones (5´39")     Sinopsis:

Fórmula para la obtención del capital final en un sistema de pensiones basado en un sistema de capitalización compuesta como aplicación de las progresiones geométricas.

Sucesiones de potencias

Una sucesión de potencias es una sucesión de la forma

1, \ 2^m, \ 3^m, \ 4^m, \ 5^m, \ \cdots \ n^m \ \cdots \qquad (m \in \mathbb{N})\;

De ellas, las más frecuentes son para los casos m=2 y m=3, que son las sucesiones de cuadrados y de cubos, respectivamente.

ejercicio

Suma de términos de las sucesiónes de cuadrados y cubos

  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cuadrados es
1+2^2+3^2+4^2+5^2+ \cdots +n^2 = \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cubos es
1+ \ 2^3+3^3+4^3+5^3+ \cdots +n^3 = \cfrac{n^2(n+1)^2}{4}
Demostración:
La demostración excede los niveles de este curso.

Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

F_1=1,\ F_2=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}

Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:

ejercicio

Término general de la sucesión de Fibonacci

El término general de la sucesión de Fibonacci es:

F_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}

siendo \phi\; el número áureo.

\phi=\frac{1+\sqrt5}2
Demostración:
Puedes ver una demostración que sobrepasa este nivel en este enlace: enlace a wikipedia

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

ejercicio

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo

El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:

"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"

a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.

b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo (\phi\;):

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...

 

Solución:

a) Sucesión de Fibonacci:

  • Mes 1: 1 pareja (la pareja nace al comenzar el primer mes)
  • Mes 2: 1 pareja (la pareja no es fértil hasta que termine el 2º mes)
  • Mes 3: 2 parejas (al comenzar el tercer mes se reproduce por primera vez)
  • Mes 4: 3 parejas (la primera pareja vuelve a reproducirse pero la segunda no lo hace hasta el comienzo del próximo mes)
  • Mes 5: 5 parejas (la primera y la segunda pareja ya se reproducen, la tercera aún no)
  • Mes 6: 8 parejas (se reproducen las 3 primeras parejas, las otras dos no)
  • Mes 7: 13 parejas (se reproducen las 5 parejas de hace 2 meses, pero las 3 nuevas del mes anterior aún no)

Así se obtiene la sucesión de Fibonacci, en la que cada término se obtiene a partir de la suma de los dos anteriores:

\{ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots \}

b) Sucesión del número áureo:

Dividiendo cada término entre el anterior, tenemos la sucesión:

\left \{ \cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots \right \}

que expresada con decimales vemos que se aproxima al número áureo:

\{ 1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \} \rightarrow \phi

Nota: Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteamiento recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático.

Fibonacci: La magia de los números (16')     Sinopsis:

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, es el autor de la primera summa matemática de la Edad Media, el Liber Abaci. Con este libro introduce en la Europa cristiana las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Pero además brinda a los calculistas de la época reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones. Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por la curiosa sucesión de números que lleva su nombre y en la que cada término es la suma de los dos anteriores. Esta sucesión es una auténtica fuente de agradables sorpresas. Analizaremos las sugerentes relaciones que existen entre sus términos y descubriremos su presencia en fenómenos naturales coma la ramificación de algunas plantas, la distribución de los piñones en las piñas y de las pipas en los girasoles. Y, aunque en principio cueste trabajo creérselo, veremos que está directamente emparentada con un viejo amigo nuestro: el número áureo.

Fibonacci (24'29")     Sinopsis:

Grandes temas de la matemática - Capítulo 4: Fibonacci. (con Adrian Paenza)

Fibonacci: La magia de los números (16')     Sinopsis:

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, es el autor de la primera summa matemática de la Edad Media, el Liber Abaci. Con este libro introduce en la Europa cristiana las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Pero además brinda a los calculistas de la época reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones. Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por la curiosa sucesión de números que lleva su nombre y en la que cada término es la suma de los dos anteriores. Esta sucesión es una auténtica fuente de agradables sorpresas. Analizaremos las sugerentes relaciones que existen entre sus términos y descubriremos su presencia en fenómenos naturales coma la ramificación de algunas plantas, la distribución de los piñones en las piñas y de las pipas en los girasoles. Y, aunque en principio cueste trabajo creérselo, veremos que está directamente emparentada con un viejo amigo nuestro: el número áureo.

Fibonacci (24'29")     Sinopsis:

Grandes temas de la matemática - Capítulo 4: Fibonacci. (con Adrian Paenza)

wolfram

Actividad: Sucesión de Fibonacci

a) ¿Cuál es la sucesión de Fibonacci?

b) ¿Cual es el término 10 de la sucesión de Fibonacci?

c) Escribe los 15 primeros términos de la sucesión de Fibonacci

d) Comprueba que la sucesión {F_n \over F_{n-1}} \; tiende al número áureo, siendo F_n \; la sucesión de Fibonacci?

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Fibonacci sequence

b) Fibonacci[10]

c) Fibonacci[Range[1,15]]

d) limit Fibonacci [n]/Fibonacci [n-1] as n->infinity

Ejercicios

Progresiones aritméticas

ejercicio

Problemas: Progresiones aritméticas

1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas.

a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...
Solución:
a) \quad a_n=-2n+3 \qquad b)\quad a_n=3n-1 \qquad c)\quad a_n=2n-9
2. Si a_1=0\;\! y d = 3\;\!, en una progresión aritmética, ¿cuánto vale a_8\;\!?
Solución:
a_n=3n-3; \qquad a_8=21
3. Si a_{10}=14\;\! y d = -2\;\!, calcular a_1\;\!.
Solución:
14=a_1+(10-1).(-2); \qquad a_1=32
4. Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.
Solución:
a_{10}=1555; \qquad S_{10}=\frac{(700+1555).10}{2}=11275

Progresiones geométricas

ejercicio

Problemas: Progresiones geométricas

1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones geométricas. Calcula la razón y el término general de cada una de ellas.

a) 1, 3, 9, 27.... b) 4, -4, 4, -4,.... c) 27, 9, 3, 1,...
Solución:
a) \quad a_n=3^{n-1} \qquad b)\quad a_n=4\cdot (-1)^{n-1} \qquad c)\quad a_n=27 \cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}= \frac{3^3}{3^{n-1}}= \frac{1}{3^{n-4}}
2. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y el cuarto término 250?
Solución:
250=2 \cdot r^3; \; 125=r^3; \; r=5
3. Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas?
Solución:
a_n=3^n; \; a_{13}=3^{13}=1594323

4. Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso.

Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor?
Solución:
a) S_{64}= \frac{1 \cdot 2^{64}-1}{2-1}=2^{64}-1= 18446744073709551615

b) \frac{18446744073709551615}{10000}=1844674407370955,1615 \;Kg

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