Límite de una sucesión (1ºBach)

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Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones

Tabla de contenidos

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Representación gráfica de una sucesión

(pág. 57)

Para representar gráficamente una sucesión a_n\;, construiremos una tabla donde anotaremos el valor de a_n\; para distintos valores de n.

Las parejas (n,a_n),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.

ejercicio

Ejemplos: Representación gráfica de una sucesión

Representa graficamente las siguientes sucesiones:

a) a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}
b) a_{n} = n^2-2n\;

Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.

Ejercicios

(pág. 57)

wolfram

Actividad: Representación gráfica y límite de una sucesión

1. Dada la sucesión a_n=-n^2 \;

a) Elabora una tabla de valores para n=1,2,...,10.
b) Representa gráficamente los puntos de esa tabla.
c) Calcula lim \ -n^2


2. Dada la sucesión a_n={1 \over n} \;

a) Elabora una tabla de valores para n=1,2,...,10.
b) Representa gráficamente los puntos de esa tabla.
c) Calcula lim \ {1 \over n}

ejercicio

Ejercicios propuestos: Límite de una sucesión

    1. Representa gráficamente la sucesión a_n=\cfrac{4n+10}{2n-1} y asígnale un valor a su límite.

    2. Representa gráficamente la sucesión a_n=\cfrac{n^2}{4}-2n+3 y asígnale un valor a su límite.

Aproximación a la idea de límite de una sucesión

  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; se aproximan a un número l \in \mathbb{R}, decimos que dicha sucesión tiende a l\; o que su límite es l\;. Lo escribiremos simbólicamente:

a_n \rightarrow l   o bien   lim \ a_n = l\;

  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; crecen indefinidamente, superando a cualquier número, decimos que dicha sucesión tiende a +\infty \; o que su límite es +\infty \;. Lo escribiremos simbólicamente:

a_n \rightarrow +\infty   o bien  lim \ a_n = +\infty \;

  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; decrecen indefinidamente, tomando valores infriores a cuialquier número negativo, decimos que dicha sucesión tiende a -\infty \; o que su límite es -\infty \;. Lo escribiremos simbólicamente:

a_n \rightarrow -\infty   o bien   lim \ a_n = -\infty \;

Sucesiones que no tienen límite

Hay sucesiones que no cumplen ninguna de las tres condiciones expuestas en el apartado anterior. Dichas sucesiones diremos que no tienen límite.

ejercicio

Ejemplo: Sucesión sin límite

La siguiente sucesión no tiene límite

a_n=(-1)^{n} \cdot n

Ejercicios

ejercicio

Ejercicio: Límite de una sucesión

1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:

a) a_n=n^2\;

b) a_n=\cfrac{7n}{n+1}

c) a_n=\cfrac{n^2-6n-1}{5n+1}

d) a_n=(-1)^n \cdot (2n+1)

e) a_n=\cfrac{n^2-2}{2n^2+1}

f) a_n=\cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1}

g) a_n=\cfrac{90n+90}{n^2}

h) a_n=\sqrt{4n+5}

i) a_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}

j) a_n=\cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2}

Videotutoriales sobre límite de sucesiones

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