Algunos límites importantes (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Suma de los términos de una progresión geométrica
2 El número e
3 El número áureo,
4 Ejercicios

Suma de los términos de una progresión geométrica

(pág. 60)

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica

Sea $a_n\;$ una progresión geométrica de razón $r\;$ y sea $S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}$ la suma de sus n primeros términos

Si $0<\; \mid r \mid \; <1$ , entonces el límite de $S_n\;$ existe y su valor es:

$S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}$

Si $r\ge 1\;$ , entonces el límite de $S_n\;$ es $+\infty \;$ o $-\infty$ :

$S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

Si $r\le -1\;$ , entonces el límite de $S_n\;$ no existe.

Demostración:

Si $0<\; \mid r \mid \; <1$ , entonces

$lim \ r^n = 0 \;$ y $lim \ a_1 r^n = 0$ .

(Por ejemplo, si $a 1 = 3$ y $r = 0.5$ , al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)

y por tanto

$S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}$

Si $r>1\;$ , entonces

$lim \ r^n \; = +\infty$ y $lim \ a_1 r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

(Por ejemplo, si $a 1 = 3$ y $r = 5$ , al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a $+\infty$ . Mientras que si $a 1 = - 3$ y $r = 5$ , al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a $-\infty$ )

y por tanto

$S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

Si $r<-1\;$ , entonces $a_1 r^n\;$ va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión $S_n\;$ también va a oscilar en signo y no tiene límite.

Si $r=-1\;$ , el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:

$a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots$

y la sucesión $S_n \;$ sería:

$a_1,\ 0,\ a_1,\ 0,\ \cdots$

que oscila y no tiene límite.

Si $r=1\;$ , la progresión quedaría constante:

$a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \cdots$ , .

y tendríamos que $S_n = a_1 n \;$ , cuyo límite es:

$S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

El número e

La sucesión del número e

El número $e\;$ , se obtiene como el límite de una sucesión:

$lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...$

Demostración:

Es inmediato hacer una comprobación dando valores a n, cada vez más grandes. Así obtendríamos:

$a_1=2,\ a_2=2.25,\ a_3=2.3703...,\ \cdots \ a_{100}=2.7048...,\ \cdots \ a_{1000000}=2,7182...$

que se aproxima al valor indicado.

Un número llamado e (13') Sinopsis:

Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.

Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)

El número áureo, $\phi \;$

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci

$F_n\;$ = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

$b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}$

se cumple que:

$lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618...$ (número áureo)

Demostración:

Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación:

En efecto, si en la sucesión de Fibonacci

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots$

dividimos cada término entre el anterior, tenemos:

$\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots$

que expresada con decimales nos da:

$1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi$

Leonardo de Pisa (Fibonacci)

La divina proporción: el número phi (6') Sinopsis:

Documental sobre el número aureo.

El número aureo (18´) Sinopsis:

El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.

Phi, el número de oro Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.