Límite de una sucesión (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Representación gráfica de una sucesión
- 1.1 Ejercicios
2 Concepto de límite de una sucesión
- 2.1 Sucesiones que no tienen límite
- 2.2 Ejercicios
3 Ejercicios
4 Videotutoriales (Ampliación)

Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones

Representación gráfica de una sucesión

(pág. 61)

Para representar gráficamente una sucesión $a_n\;$ , construiremos una tabla donde anotaremos el valor de $a_n\;$ para distintos valores de n.

Las parejas $(n,a_n),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.

Ejercicios resueltos: Representación gráfica y límite de una sucesión

Representa graficamente las siguientes sucesiones:

a) $a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}$

b) $a_{n} = n^2-2n\;$

Solución:

a) $a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}$

Construimos la tabla de valores:

n	1	2	3	4	5	100	1000
a_n	1.25	2	2.5	2.85	3.1	4.85	4.98

Se observa que los términos de la sucesión se acercan cada vez mas a 5. Concluiremos diciendo que el límite de esta sucesión es 0, y lo escribiremos simbólicamente de la siguiente manera:

$lim \ a_n = lim \ \cfrac{5n}{n+3} = 5$

b) $a_{n} = \cfrac{n^2}{5}-4n \;$

Construimos la tabla de valores:

n	1	2	3	4	5	100	1000
a_n	-3.8	-7.20	-10.2	-12.8	-15	1600	196000

Se observa que los términos crecen y se hacen indefinidamente grandes. Concluiremos diciendo que el límite de esta sucesión es $+ \infty\;$ , y lo escribiremos simbólicamente de la siguiente manera:

$lim \ a_n = lim \ \cfrac{n^2}{5}-4n = + \infty$

Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.

Ejercicios

Actividad: Representación gráfica y límite de una sucesión

1. Dada la sucesión $a_n=-n^2 \;$

a) Elabora una tabla de valores para n=1,2,...,10.

b) Representa gráficamente los puntos de esa tabla.

c) Calcula $lim \ -n^2$

2. Dada la sucesión $a_n={1 \over n} \;$

a) Elabora una tabla de valores para n=1,2,...,10.

b) Representa gráficamente los puntos de esa tabla.

c) Calcula $lim \ {1 \over n}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Table[-n^2,{n,1.,10.}] o Table[-n^2,{n,1.,1000.,100}]

b) Plot Table[-n^2,{n,1.,1000.,100}]

c) limit -n^2 as n->+oo

a) Table[1/n,{n,1.,10.}]

b) Plot Table[1/n,{n,1,10}]

c) limit 1/n as n->+oo

(pág. 61)

Ejercicios propuestos: Representación gráfica y límite de una sucesión

1. Representa gráficamente la sucesión $a_n=\cfrac{4n+10}{2n-1}$ y asígnale un valor a su límite.

2. Representa gráficamente la sucesión $b_n=\cfrac{n^2}{4}-2n+3$ y asígnale un valor a su límite.

3. Representa gráficamente la sucesión $c_n=(-1)^n \cdot n$ y describe su comportamiento. ¿Qué puede decirse sobre $lim \, c_n \;$ ?

Solución:

Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones.

Concepto de límite de una sucesión

(pág. 62)

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ podemos conseguir que se aproximen a un número $l \in \mathbb{R}$ , tanto como queramos (a menos de una distancia $\varepsilon \;$ tan pequeña como deseemos) al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $l\;$ o que su límite es $l\;$ . Diremos que la sucesión es convergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $+\infty \;$ o que su límite es $+\infty \;$ . Diremos que la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a $-\infty \;$ o que su límite es $-\infty \;$ . Diremos que la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

$lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k$

Teorema

Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente.

Demostración:

La demostración excede el nivel de este curso

Sucesiones que no tienen límite

(pág. 63)

Hay sucesiones que no cumplen ninguna de las tres condiciones expuestas en el apartado anterior. Dichas sucesiones diremos que no tienen límite.

Ejemplo: Sucesión oscilante

La siguiente sucesión no tiene límite

$a_n=(-1)^{n+1} \cdot n$

Solución:

En efecto, los términos de esta sucesión son:

$-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6,\ -7,\ 8,\ \cdots$

Se trata de una sucesión oscilante. No es divergente ni convergente, es decir, no tiene límite.

Esto es debido a que sus términos se aproximan a dos valores distintos: los términos impares tienden a $+\infty \;$ y los pares a $-\infty \;$ , como puede verse en la representación gráfica de la sucesión.

Ejercicios

Ejercicios resueltos: Límite de una sucesión

1. Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:

a) $a_n=3+\frac{10}{n}$

b) $b_n=\frac{n^2-n}{2}$

2. Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:

a) $a_n=(-3)^n \;$

b) $c_n=\frac{(-1)^n}{n}$

Solución:

Utilizaremos Wolfram para comprobarlos:

1a. $a_n=3+\frac{10}{n}$

Table[3+10/n,{n,1.,10.}] o Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]

Plot Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]

limit 3+10/n as n->+oo

1b. $b_n=\frac{n^2-n}{2}$

Table[(n^2-n)/2,{n,1.,10.}] o Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]

Plot Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]

limit (n^2-n)/2 as n->+oo

2a. $a_n=(-3)^n \;$

Table[(-3)^n,{n,1.,10.}] o Table[(-3)^n,{n,1.,1000.,100}]

Plot Table[(-3)^n,{n,1.,1000.,100}]

limit (-3)^n as n->+oo

2b. $c_n=\frac{(-1)^n}{n}$

Table[(-1)^n/n,{n,1.,10.}] o Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]

Plot Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]

limit (-1)^n/n as n->+oo

(pág. 63)

Ejercicios propuestos: Límite de una sucesión

1. Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:

a) $a_n=\frac{2n-3}{6} \;$

b) $b_n=\frac{2n-3}{n+5}$

c) $c_n=3-2^n \;$

d) $d_n=5- \frac{1}{n^3} \;$

2. Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:

a) $a_n=-\frac{2}{n^2} \;$

b) $b_n=(-1)^n \cdot \frac{n}{n+4}$

c) $c_n=(-1)^n \cdot n^2$

d) $d_n=(-1)^n \cdot \frac{2}{n^2}$

Solución:

Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones.

Ejercicios

Ejercicio: Límite de una sucesión

1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:

a) $a_n=n^2\;$

b) $b_n=\cfrac{7n}{n+1}$

c) $c_n=\cfrac{n^2-6n-1}{5n+1}$

d) $d_n=(-1)^n \cdot (2n+1)$

e) $e_n=\cfrac{n^2-2}{2n^2+1}$

f) $f_n=\cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1}$

g) $g_n=\cfrac{90n+90}{n^2}$

h) $h_n=\sqrt{4n+5}$

i) $i_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}$

j) $j_n=\cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2}$

Solución:

Límites:

a) $lim \ a_n=lim \ n^2 = +\infty \;$

b) $lim \ b_n=lim \ \cfrac{7n}{n+1} = 7$

c) $lim \ c_n=lim \ \cfrac{n^2-6n-1}{5n+1} = +\infty$

d) $lim \ d_n=lim \ (-1)^n \cdot (2n+1)$ (No tiene límite, es oscilante)

e) $lim \ e_n=lim \ \cfrac{n^2-2}{2n^2+1} = \cfrac{1}{2}$

f) $lim \ f_n=lim \ \cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1} = +\infty$

g) $lim \ g_n=lim \ \cfrac{90n+90}{n^2} = 0$

h) $lim \ h_n=lim \ \sqrt{4n+5} = +\infty$

i) $i_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}$ (No tiene límite, es oscilante)

j) $lim \ j_n=lim \ \cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2} = 0$

Representación gráfica:

En la siguiente escena tienes la representación gráfica de las sucesiones. Pulsa los cursores "sucesión" para cambiar de sucesión. Haz uso del zoom y del cambio de escala O.x y O.y para visualizar mejor los resultados. Mueve el punto amarillo para ver la sucesión término a término.

Click aquí si no se ve bien la escena

Videotutoriales (Ampliación)

Sucesiones de números reales (17´44") Sinopsis:

Concepto de sucesión de números reales. Ejemplos.
Introducción de la notación necesaria para el comprender el concepto de límite de una sucesión de números reales.

Visualización de una sucesión de números reales (11´36") Sinopsis:

Representación gráfica de una sucesión de números reales.

Límite de una sucesión de números reales (11´15") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite finito de una sucesión de números reales. (sucesión convergente)
Ejemplos.
Visualización del concepto de límite.

Ejercicio (10´35") Sinopsis:

Demostrar que $lim \ \frac{5n-3}{2n+1}=\frac{5}{2}$ usando la definición rigurosa de límite.

Límites infinitos (21´27") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite infinito (sucesión divergente)
Ejemplos.
Visualización del concepto de límite infinito.

Propiedades aritméticas de los límites (14´20") Sinopsis:

Propiedades aritméticas de los límites (límite de una suma, de un producto, de un cociente, de una potencia, etc.)
Ejemplos.
Indeterminaciones matemáticas.

Indeterminaciones matemáticas (8´10") Sinopsis:

Las diversas indeterminaciones matemáticas.

Infinitos potenciales (6´54") Sinopsis:

Definición de infinito potencial de grado k.
Ejemplos.

Cociente de infinitos potenciales (9´09") Sinopsis:

Cociente de infinitos potenciales.
Ejemplos.

Otros infinitos (13´01") Sinopsis:

Definición de infinito de orden superior, inferior o igual a otro infinito.
Ejemplos.

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Categorías: Matemáticas | Números

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