Plantilla:Ecuaciones exponenciales

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Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuación exponencial

Resuelve las siguientes ecuaciónes:
a) 3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;
b) 5^{x^2-5x+6}=1 \;
c) 3^{1-x^2}=2\;
d) 2^x+2^{x+1}=12\;
Solución:

a)

3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;
Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:
3^{1-x^2}=3^{-3}
Como a^x = a^y \iff x=y, los exponentes deben ser iguales:
1-x^2=-3\;
Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:
x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2

 

Soluciones: x_1=2 \, \ x_2=-2

b)

5^{x^2-5x+6}=1 \;
Expresamos el segundo miembro como potencia de 5:
5^{x^2-5x+6}=5^0 \;
Como a^x = a^y \iff x=y, los exponentes deben ser iguales:
x^2-5x+6=0 \;
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=3 \end{cases}


Soluciones: x_1=2 , \ x_2=3;

c)

3^{1-x^2}=2\;

Como el segundo miembro no podemos expresarlo como potencia de base 3, tomaremos logaritmos en ambos lados de la ecuación:

log \ 3^{1-x^2}= log \ 2
Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:
(1-x^2) \ log \ 3= log \ 2
Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:
1-x^2= \cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow x^2=1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow \ x=\pm \sqrt{1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3}} \approx \pm 0.6075

 

Soluciones: x_1 \approx 0.6075 \, \ x_2 \approx -0.6075

d)

2^x+2^{x+1}=12\;

Haciendo el cambio de variable:
2^x=y \;
tenemos que:
2^{x+1}=2^x \cdot 2^1 = 2y \;
Y la ecuación de partida queda:

y+2y=12\;
Resolvemos la ecuación de primer grado:
3y=12 \rightarrow y = 4 \;
Y deshacemos el cambio de variable:
y=4 \rightarrow 2^x=4 \rightarrow x = 2 \;

 

Solución: x=2 \;

wolfram

Actividad: Ecuaciones exponenciales

Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3^x=\sqrt[3]{9} \;
b) 2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0 \;
c) 9^x-3^x-6=0 \;

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve 3^x=3th root (9) over the reals
b) solve 2^(2x)-5*2^x+4=0 over the reals
c) solve 9^x-3^x-6=0 over the reals

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