Plantilla:Logaritmos (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Logaritmos
2 Propiedades de los logaritmos
3 Logaritmos decimales
- 3.1 Calculadora
4 Logaritmos neperianos
- 4.1 Calculadora
5 Ejercicios

Logaritmos

(pág. 37)

Sea $a \in \mathbb{R}^+~,~(a \ne 1)$ . Se define el logaritmo en base a de un número real $P\;$ , y se designa $log_a \ P$ , al exponente $x\;$ al que hay que elevar la base $a\;$ para obtener $P\;$ , es decir:

$log_a \ P=x \iff a^x=P$

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.

(pág. 38)

Ejercicios resueltos: Logaritmos

Hallar los siguientes logaritmos reconociendo la potencia correspondiente: $log_3 \ 81,\ log_{10} \ 0.01,\ log_5 \ 0.2, \ log_2 \ 0.125$

Solución:

$log_3 \ 81=log_3 \ 3^4=4$
$log_{10} \ 0.01=log_{10} \ 10^{-2}=-2$
$log_5 \ 0.2=log_5 \ \cfrac{1}{5}=log_5 \ 5^{-1}=-1$
$log_2 \ 0.125=log_2 \ \cfrac{125}{1000}=log_2 \ \cfrac{1}{8}=log_2 \ 2^{-3}=-3$

Logaritmo de un número positivo (7´38") Sinopsis:

Concepto de logaritmo de un número.

12 ejercicios sobre logaritmos (10´15") Sinopsis:

Ejercicios sobre ejercicios básicos de cálculo de logaritmos a partir de la definición.

6 ejercicios sobre logaritmos (5´27") Sinopsis:

Ejercicios sobre ecuaciones logarítmicas sencillas

Propiedades de los logaritmos

(pág. 34)

Propiedades de los logaritmos:

1: Logaritmo de la base:

a) $log_a \ a=1$

b) $log_a \ a^n=n$

2: Logaritmo de 1:

$log_a \ 1=0$

3: Logaritmo de números negativos o nulos:

Si $P \le 0$ , entonces $log_a \ P$ no existe.

4: Igualdad y orden:

a) $P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q$ o equivalentemente, $log_a \ P = log_a \ Q \Rightarrow P=Q$

b) $P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad si~ a>1$

c) $P < Q \Rightarrow log_a \ P > log_a \ Q, \quad si~ 0<a<1$

5: Logaritmo de un producto:

$log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q$

6: Logaritmo de un cociente:

$log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q$

7: Logaritmo de una potencia:

$log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P$

8: Logaritmo de una raíz:

$log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P$

9: Cambio de base:

$log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}$

(pág. 39)

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Sabiendo que $log_2 \ A=3.5 \ y \ log_2 \ B=-1.4$ , calcula:

a) $log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4}$

b) $log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3}$

Solución:

a) $log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4}=log_2 \ (A \cdot B) - log_2 \ 4=log_2 \ A + log_2 \ B - log_2 \ 4=3.5-1.4-2=0.1$

b) $log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3}=log_2 \ 2 \sqrt{A}~ - ~log_2 \ B^3=log_2 \ 2~+~ log_2 \sqrt{A}~ - ~log_2 \ B^3=1~+~ log_2 \ A^{\frac{1}{2}}~ -~ log_2 B^3=$

$=1+ \cfrac{1}{2}~ log_2 \ A - 3 ~log_2 \ B=1+ \cfrac{1}{2}~ \cdot ~ 3.5 - 3 \cdot (-1.4) = 6.95$

Propiedades de los logaritmos (con su demostración) (13´22") Sinopsis:

Demostración de las propiedades de los logaritmos.

5 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (9´34") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes logaritmos:

$log \, \cfrac{5z^3u^2}{2x^7}$
$log \, \cfrac{1}{2z^5 \sqrt{u}}$
$log_6 \, \cfrac{2x+3z}{u^5}$
$ln \, \sqrt[3]{\cfrac{x}{z^2u^7}}$
$log_k \, \sqrt{ k \, \sqrt {k\, {\sqrt{k}}}}$

5 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (8´45") Sinopsis:

Reduzca las siguientes expresiones a un solo logaritmo:

$2 \, log \, x - 3 \, log \, z$
$\cfrac{1}{3} \; log \, (x+z) - \cfrac{1}{2} \; log \, (x-z)$
$2 - 3 \, log \, x + \cfrac{1}{5} \; log \, z$
$3 - \cfrac{1}{2} \, log_2 \, (x-2z) - 6 \, log_2 \, x$
$1 + 3 \, ln \ x^2 - \cfrac{2}{5} \; ln \, (1+x)$

2 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (7´13") Sinopsis:

Ejercicios:

Expresa $log \, \cfrac{0.016^5 \cdot 20}{\sqrt{128}}$ en función de log 2.
Expresa $log \, \cfrac{12 \sqrt[3]{36}}{\sqrt{0.09^3 \cdot 160}}$ en función de log 2 y log 3.

4 ejercicios de aplicación de las propiedades de los logaritmos (6´18") Sinopsis:

Resuelve:

Si un número se multiplica por 49, su logaritmo (en base desconocida) aumenta en 2 unidades. Halla la base.
Resuelve la ecuación $log_x \, 12 + log_x \, 3 = 2$
Determina el menor entero que satisface la condición $2.43^x > 13 \;$
Determina el mayor real que satisface la condición $2.51^x \le 7 \;$

Logaritmos decimales

(pág. 38)

Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por $log_{10}\;$ , los representaremos, simplemente, por $log\;$ . Esto es:

$log_{10} \ P=log \ P$

Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\log \ 100$

Procedimiento: $100\;\!$

Solución: $2\;\!$

Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.

Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:

Actividad: Logaritmos

a) Calcula: $log \ 0.1, \ log_2 \ {16}, \ ln \ {e^2}$ .

b) Averigua la relación entre x e y sabiendo que $ln y = x + ln \ 7 \;$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) log_10 0.1 log_2 16 log e^2

b) log y = x + log 7

(pág. 38)

Ejemplo: Cambio de base

Usa la calculadora para hallar $log_2 \ 11$ .

Solución:

Como la calculadora científica no tiene logaritmos en base 2, mediante la fórmula del cambio de base haremos un cambio de base 2 a base 10:

$log_2 \ 11=\cfrac{log \ 11}{log \ 2}=3,45943...$

ya que $log \ 2$ y $log \ 11$ se pueden obtener directamente con la calculadora.

Cambio de base de logaritmos (7´16") Sinopsis:

Cambio de base usando la calculadora.

Logaritmos neperianos

(pág. 38)

Los logaritmos neperianos o logaritmos naturales son aquellos de base e (número e: 2.71828...). En vez de representarlos por $log_{e}\;$ , los representaremos, simplemente, por $ln\;$ . Esto es:

$log_{e} \ P=ln \ P$

Deben su nombre a Neper, matemático escocés, que los inventó en 1614.

Calculadora

Calculadora: Logaritmo neperiano

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\ln \ 50$

Procedimiento: $50\;\!$

Solución: $3.912023005\;\!$

John Napier (Neper)

(pág. 39)

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Averiguar la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: $ln \ y=x+ ln \ 7$

Solución:

Partiendo de la relación dada:

$ln \ y=x+ ln \ 7$

Como por la definición de logaritmo, $x= ln \ e^x$ , entonces:

$ln \ y=ln \ e^x \cdot ln \ 7$

Por la propiedad 5 de los logaritmos:

$ln \ y=ln \ \left ( e^x \cdot 7 \right )$

Por la propiedad 4a de los logaritmos:

$y=e^x \cdot 7$

Por tanto, la relación pedida es:

$y=7 e^x \,$

Ejercicios

(pág. 39)

Ejercicios propuestos: Logaritmos

1. Halla:

a) $log_2 \ 16$ b) $log_2 \ 0.25$ c) $log_9 \ 1$ d) $log \ 0.1$ e) $log_4 \ 64$ f) $log_7 \ 49$ g) $ln \ e^4$ h) $ln \ e^{-\frac{1}{4}}$ i) $log_5 \ 0.04$ j) $log_6 \ \left ( \cfrac{1}{216} \right )$