Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)
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Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, , que llamaremos diferencia.
Escrito en forma recursiva:

Por ejemplo, la sucesión :
es una progresión aritmética con diferencia .
Término general de una progresión aritmética
Término general de una progresión aritmética
El término general, , de una progresión aritmética de diferencia
es:

Suma de términos de una progresión aritmética
Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

Actividades
Problema: Progresiones aritméticas Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo (es decir, 795€ por el segundo metro,...). a) ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? b) Calcular el total abonado por los 10 metros excavados. |
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Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, , que llamaremos razón.
Escrito en forma recursiva:

Por ejemplo, la sucesión :
es una progresión geométrica de razón .
Término general de una progresión geométrica
Término general de una progresión geométrica
El término general, , de una progresión geométrica de razón
es:

Ejercicio resuelto: Progresión geométrica
En una progresión geométrica de términos positivos, y
.
Halla
,
y
.
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de términos de una progresión geométrica
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

Ejercicio resuelto: Suma de términos de una progresión geométrica
Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año?
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que se obtiene así:

Producto de términos de una progresión geométrica
Producto de "n" términos de una progresión geométrica
El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

Actividades
(Pág. 59)
Sucesiones de potencias
Una sucesión de potencias es una sucesión de la forma

De ellas, las más frecuentes son para los casos m=2 y m=3, que son las sucesiones de cuadrados y de cubos, respectivamente:


Suma de términos de las sucesiónes de cuadrados y cubos
- La suma de los n primeros términos de una sucesión de cuadrados es

- La suma de los n primeros términos de una sucesión de cubos es

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Sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:
Término general de la sucesión de Fibonacci
El término general de la sucesión de Fibonacci es:

siendo el número áureo.

La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo
El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:
- "Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"
a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.
b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo ():

Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Algunos tipos de sucesiones |