Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)

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Tabla de contenidos

(Pág. 106)

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo agudo \alpha \,, de la siguiente manera:

  • El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

sen \, \alpha= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}
  • El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) y la hipotenusa:

cos \, \alpha= \frac{b}{c} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}
  • La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

tg \, \alpha= \frac{a}{b} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}

ejercicio
Ejemplos

Razones trigonométricas inversas

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

  • La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón inversa del seno:

cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{c}{a}
  • La secante (abreviado como sec), razón inversa del coseno:

sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{c}{b}
  • La cotangente (abreviado como cot), razón inversa de la tangente:

cot \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{b}{a}

Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con brocha gorda) (12´47")     Sinopsis:
  • Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
  • Razones trigonométricas inversas.
  • Ejemplos.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo (con pincel) (9´25")     Sinopsis:
  • Definición razonada de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

ejercicio

Ejercicios

Autoevaluación: Razones trigonométricas     Descripción:

  • Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del triángulo.
  • Si pulsas el botón "ángulo" cambiará el ángulo al que se le calculan las razones trigonométricas.
  • Si pulsas el botón "OTRAS RAZONES" alternararás entre las razones trigonométricas y sus recíprocas.
  • Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes.

Relaciones fundamentales de la trigonometría

ejercicio

Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1

2. tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}

3. 1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}

Demostración:

1. sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{a}{c} \right )^2 + \left ( \cfrac{b}{c} \right )^2 =\cfrac {a^2+b^2}{c^2}= \cfrac {c^2}{c^2}=1

ya que, por el teorema de Pitágoras, a^2+b^2=c^2\;.


2. \cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{a}{c}:\cfrac{b}{c}=\cfrac{a}{b}=tg \, \alpha


3. 1+tg^2 \, \alpha =1+\cfrac{sen^2 \, \alpha }{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{cos^2 \, \alpha + sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}

donde en el último paso hemos utilizado la primera relación fundamental: sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1
Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo (7´13")     Sinopsis:

Videotutorial

6 ejercicios (Conocida una razón trigonométrica, hallar las otras) (9´45")     Sinopsis:

Videotutorial

Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes

A continuación las razones trigonométricas de algunos ángulos que es conveniente recordar:

Radianes Grados sen cos tg cosec sec cot
0 \; 0^o \, 0 \; 1 \; 0 \; \not{\exists} \,\! 1 \; \not{\exists} \,\!
\frac{\pi}{6} 30^o \, \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{2\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
\frac{\pi}{4} 45^o \, \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 \, \sqrt{2} \sqrt{2} 1 \,
\frac{\pi}{3} 60^o \, \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{2\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{\sqrt{3}}{3}
\frac{\pi}{2} 90^o \, 1 \; 0 \; \not{\exists} \,\! 1 \, \not{\exists} \,\! 0 \,

Razones trigonométricas de ángulos complementarios (4´54")     Sinopsis:

Videotutorial

Razones trigonométricas de los ángulos más famosos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º) (6´59")     Sinopsis:

Videotutorial

Calculadora

Funciones trigonométricas (directas)

Seno

Calculadora

Calculadora: Seno

Para calcular el seno de 30º usaremos la tecla Seno. La calculadora debe estar en modo DEG (grados sexagesimales).

Ejemplo:
  • Operación: sen \, 30^o\;


  • Procedimiento: Seno 30\;\! Obtener resultado


  • Solución: 0.5\;\!

Coseno

Calculadora

Calculadora: Coseno

Para calcular el coseno de 120º usaremos la tecla Coseno. La calculadora debe estar en modo DEG (grados sexagesimales).

Ejemplo:
  • Operación: cos \, 120º


  • Procedimiento: Coseno 120 Obtener resultado


  • Solución: -0.5\;\!

Tangente

Calculadora

Calculadora: Tangente

Para calcular el tangente de 45º usaremos la tecla Tangente. La calculadora debe estar en modo DEG (grados sexagesimales).

Ejemplo:
  • Operación: tg \, 45^o\;


  • Procedimiento: Tangente 45\;\! Obtener resultado


  • Solución: 1\;\!

Funciones trigonométricas (recíprocas)

Aco seno

Calculadora

Calculadora: Arco seno

Para calcular el ángulo a partir del valor del seno usaremos la tecla Seno.

Ejemplo:
  • Operación: arcsen \,\, 0.5\;


  • Procedimiento: Shift Seno 0.5\;\! Obtener resultado


  • Solución: 30^o\;. Si la calculadora está en modo DEG (grados sexagesimales).

Nota: La calculadora sólo da un valor del ángulo (el que se encuentra entre -90º y 90º). Hay otra solución en el segundo o tercer cuadrante que se obtiene restando a 180º la solución obtenida. En este ejemplo, la otra solución sería 180º-30º=150º.

Arco coseno

Calculadora

Calculadora: Arco coseno

Para calcular el ángulo a partir del valor del coseno usaremos la tecla Coseno.

Ejemplo:
  • Operación: arccos \,\, 0.5


  • Procedimiento: Shift Coseno 0.5\;\! Obtener resultado


  • Solución: 60^o\;. Si la calculadora está en modo DEG (grados sexagesimales).

Nota: La calculadora sólo da un valor del ángulo (el que se encuentra entre 0º y 180º). Hay otra solución en el tercer o cuarto cuadrante que se obtiene restando a 360º la solución obtenida. En este ejemplo, la otra solución sería 360º-60º=300º.

Arco tangente

Calculadora

Calculadora: Arco tangente

Para calcular el ángulo a partir del valor de la tangente usaremos la tecla Tangente.

Ejemplo:
  • Operación: arctg \,\, 1\;


  • Procedimiento: Shift Tangente 1\;\! Obtener resultado


  • Solución: 45^o\;\!. Si la calculadora está en modo DEG (grados sexagesimales).

Nota: La calculadora sólo da un valor del ángulo (el que se encuentra entre -90º y 90º). Hay otra solución en el segundo o tercer cuadrante que se obtiene sumando 180º a la solución obtenida. En este ejemplo, la otra solución sería 180º+45º=225º.

wolfram

Actividad: Razones trigonométricas

Directas:
a) seno 30º , b) cos 45º , c) tan 60º
Inversas:
d) cosec 30º , e) cot 45º , f) sec 60º
Recíprocas:
g) arcsen (0.5) , h) arccos (0.12) , arctan (2.43)

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) sin(30º) , b) cos(45º) , c) tan(60º)
d) csc(30º) , e) cot(45º) , f) sec(60º)
d) arcsin(0.5) in deg , e) arccos(0.12) in deg , f) arctan(2.43) in deg
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