Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}, donde O\, es un punto fijo, llamado origen, y B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto P\, del plano tiene asociado un vector fijo \overrightarrow{OP}, llamado vector de posición del punto P\,.

Si el vector \overrightarrow{OP} tiene coordenadas (a,b)\, respecto de la base B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}), el punto P\, diremos que tiene coordenadas (a,b)\, respecto del sistema de referencia \mathfrak{R}.

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.


Sistema de referencia ortonormal

Coordenadas del vector que une dos puntos

ejercicio

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\,, respecto de un sistema de referencia \mathfrak{R}, entonces:
\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)

Vectores equipolentes

ejercicio

Proposición

Dos vectores son equipolentes si y sólo si tienen las mismas coordenadas.

Condición para que tres puntos estén alineados

ejercicio

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano A(x_1,y_1)\,, B(x_2,y_2)\, y C(x_3,y_3)\,, están alineados si se cumple:
\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}

Punto medio de un segmento

ejercicio

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio, M\,, de un segmento de extremos A(x_1,y_1)\, y B(x_2,y_2)\, son:


M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)

Simétrico de un punto respecto de otro

ejercicio

Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de A(x,y)\, respecto del punto P(a,b)\, es:


A'=(2a-x,2b-y)\,.

Traslaciones y homotecias

Operaciones con vectores

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