Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

(Pág. 191)

Vector de dirección de una recta

  • Una recta r\, queda determinada por un punto P\, y un vector \overrightarrow{d} que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
  • Dos puntos A\, y B\, de una recta determinan un vector de dirección de la misma, \overrightarrow{AB}.

Recta determinada por un punto y un vector director     Descripción:

En esta escena podrás ver como un punto del plano y un vector director determinan una recta.

Recta determinada por dos puntos     Descripción:

En esta escena podrás ver como dos puntos del plano determinan una recta.

Ecuación vectorial de la recta

Sea \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\} un sistema de referencia del plano, y sea r\, una recta determinada por un punto P\, y un vector de dirección \overrightarrow{d}. Cualquier punto X\, de la recta queda determinado de la siguiente manera:

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PX}

y como \overrightarrow{PX} tiene la misma dirección que \vec{d}:

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}

donde t \in \mathbb{R} es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta r\,.

Ecuación vectorial de recta     Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la ecuación vectorial de una recta en el plano.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección \overrightarrow{d}(d_1,d_2) y que pasa por el punto P(p_1,p_2)\,.


\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}

Deducción: 

A partir de la ecuación verctorial de la recta

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}

si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:

(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)
Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones.

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones paramétricas de la recta

Halla las ecuaciones paramétricas de la recta con vector director \overrightarrow{d}(-2,3) que pasa por el punto P(5,-7)\,.

Solución:
\begin{cases} x=5+ -2t \\ y=-7+ 3t \end{cases}

Ecuaciones paramétricas de recta     Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano.

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Ecuaciones paramétricas de la recta
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Actividad: Ecuaciones paramétricas de la recta

Representa la recta:

\begin{cases} x=2+5t \\ y=3-t \end{cases}

Solución:
Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:
a) plot x=2+5t, y=3-t

Ecuación continua de la recta

Ecuación continua de la recta con vector director \overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0) y que pasa por un punto P(p_1,p_2)\,:


\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}

Deducción: 

A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro t\, (siempre y cuando las dos coordenadas del vector \overrightarrow{d}(d_1,d_2) sean distintas de cero), tenemos:

\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} \end{cases}
Igualando ambos valores de t\,, obtenemos la ecuación.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación continua de la recta

Halla la ecuación continua de la recta con vector director \overrightarrow{d}(-2,3) que pasa por el punto P(5,-7)\,.

Solución:

De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro t\, e igualamos:

\begin{cases} x=5+ -2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-5}{-2} \\ y=-7+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y+7}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-5}{-2}=\cfrac{y+7}{3}

Ecuación implícita o general de la recta

Ecuación implícita o general de la recta:

Ax+By+C=0\,

Deducción: 

Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que d_1 \ne 0 y d_2 \ne 0)


\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}

Multiplicando en cruz:

d_2 \cdot (x-p_1)=d_1 \cdot (y-p_2)

y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:

d_2 \, x -d_1 \, y -d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2=0


de donde, haciendo: A=d_2\,,     B=-d_1\,    y     C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,

se tiene la ecuación.

Antes hemos supuesto d_1 \ne 0 y d_2 \ne 0. Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:

  • Si d_1=0\,, las ecuaciones paramétricas serían:
\begin{cases} x=p_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}

de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación x=p_1\, y su ecuación implícita sería x-p_1=0\,.

  • Si d_2=0\,, las ecuaciones paramétricas serían:
\begin{cases}x=p_1+td_1 \\ y=p_2 \end{cases}
de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación y=p_2\, y su ecuación implícita sería y-p_2=0\,.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación implícita de la recta

Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos A(3,1)\, y B(5,4)\,.

Solución:

Primero calculamos su vector de dirección:

\overrightarrow{AB}=(5,4)-(3,1)=(2,3)

Obtenemos las ecuaciones paramétricas con ese vector director y con uno de los dos puntos, por ejemplo A(3,1)\,. A partir de éstas obtenemos la ecuación continua:

\begin{cases} x=3+ 2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-3}{2} \\ y=1+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y-1}{3}

Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, obtenemos la ecuación implícita:

3 \, (x-3)=2 \, (y-1) \quad \rightarrow \quad 3x-9=2y-2 \quad \rightarrow \quad 3x-2y-7=0

ejercicio

Proposición

Dada una recta de ecuación Ax+By+C=0\,:

  • El vector (-B,A)\, es un vector de dirección de la recta.
  • El vector (A,B)\, es un vector perpendicular a la recta que se denomina vector normal a la recta.
Demostración:

Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo A=d_2\,, B=-d_1\, y C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,, se tenía la ecuación implícita Ax+By+C=0\,.

Entonces, el vector (-B, A)=(d_1,d_2)\,, que es el vector director de la recta

Y el vector (A,B)=(d_2, -d_1)\, es perpendicular a la recta porque (d_2, -d_1)\cdot (d_1,d_2)=0, y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.

Ecuación explícita de la recta

Ecuación explícita de la recta:

y=mx+n\,

donde m\, se llama pendiente de la recta y n\, ordenada en el origen.

Deducción: 

Partiendo de la ecuación implícita

Ax+By+C\,

y despejando y\, (siempre que B \ne 0), tenemos:

y=-\cfrac{A}{B}x-\cfrac{C}{B}\,
Llamando m=-\cfrac{A}{B}    y    n=-\cfrac{C}{B}, tenemos la ecuación.

Ecuación explícita de la recta     Descripción:

Estudio del comportamiento de la recta y=mx+n atendiendo a los parámetros m (pendiente) y n (ordenada en el origen).

ejercicio

Ejemplo: Ecuación explícita de la recta

Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas:\begin{cases} x=1-t \\ y=1+t \end{cases}
Solución:

Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.

\begin{cases} x=1-t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-1}{-1} \\ y=1+2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{2} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2}

Para obtener la ecuación explícita basta con despejar y\,:

\cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2} \quad \rightarrow \quad 2x-2=-y+1 \quad \rightarrow \quad y=-2x+3

ejercicio

Proposición

  1. La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
  2. Si P_1(x_1,y_1)\, y P_2(x_2,y_2)\, son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es m=tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  3. El vector de coordenadas (1,m)\, es un vector de dirección de la recta.
Demostración:

1. Sean P_1(x_1,y_1)\, y P_2(x_2,y_2)\,, dos puntos de la rectan y tomemos x_2=x_1+1\,.

Sus abcisas x_1\, y x_2=x_1 +1\, difieren en 1.

Veamos sus ordenadas en cuanto difieren:

y_2-y_1 = m(x_1+1) + n -(mx_1+n) = mx_1+m +n - mx_1-n = m\,

2. Por la definición de tangente de un ángulo:

tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{y_2-y_1}{x_1+1-x_1}=\cfrac{m}{1}=m


3. En la deducción de la ecuación explícita vimos que m=-\cfrac{A}{B}, entonces:

(1,m)=(1, -\cfrac{A}{B})

Si multiplicamos ambas coordenadas por -B\,, obtenemos otro vector con la misma dirección:

-B \cdot (1, -\cfrac{A}{B})=(-B,A)
Pero en una proposición anterior vimos que el vector (-B,A)\, era el vector de dirección de la recta.

Ecuación de la recta en sus distintas formas     Descripción:

En esta escena podrás ver las distintas ecuaciones de la recta.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos     Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
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Actividad: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Halla y representa la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,5) y (2,3). Averigua su pendiente y los puntos de corte con los ejes.
Solución:
Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

line (3,5),(2,3)

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P(x_0,y_0)\, y tiene pendiente m\,


y=y_0+m(x-x_0)\,


Deducción: 

Partimos de la ecuación explícita

y=mx+n\,

Sustituimos el punto P(x_0,y_0)\, en la ecuación y despejamos n\,:

y_0=mx_0+n \quad \rightarrow \quad n=y_0-mx_0

Sustituimos este valor de n\, en la ecuación explícita y sacamos factor común m\,:

y=mx+y_0-mx_0 \quad \rightarrow \quad y=y_0+m(x-x_0)

Ecuación punto-pendiente de la recta     Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación punto-pendientede la recta.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación punto-pendiente de la recta

Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(5,-1) y B(7,4).

Solución:

Primero calculamos su pendiente:

\cfrac{4-(-1)}{7-5}=\cfrac{5}{2}

Usando el punto A(5,-1), la ecuación punto-pendiente queda así:

y=-1+\cfrac{5}{2}(x-5)

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Ecuaciones de la recta
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Actividad: Ecuaciones de la recta

Representa la recta de ecuación 2x+5y-4=0. Exprésala en su forma punto-pendiente y explícita. Halla los puntos de corte con los ejes y su pendiente.

Solución:
Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:
a) line 2x+5y-4= 0

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones de la recta en el plano

(Pág. 195)

1a,c,d, 2, 3

(Pág. 197)

1

Videotutoriales

La recta en el plano (18'28")     Sinopsis:

Una recta del plano puede identificarse de las diversas formas que explicamos en este vídeo: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuación continua, ecuación punto-pendiente, ecuación explícita.

Ejercicio 1 (20´50")     Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dado un punto y un vector director.

Ejercicio 2 (17´58")     Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.

Ejercicio 3 (6´48")     Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.

Ejercicio 4 (7´47)     Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación continua.

Ejercicio 5 (5´42)     Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación explícita.

Ejercicio 6 (9´14)     Sinopsis:

Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos dados.

Ejercicio 7 (10´34)     Sinopsis:

Dibujar rectas dadas en distintas formas.

Ejercicio 8 (11´45)     Sinopsis:

Hallar el baricentro de un triángulo conocidos sus 3 vértices.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_de_una_recta_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"
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