Lugares geométricos (1ºBach)
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Lugar geométrico
Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.
Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico.
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento , es el lugar geométrico de los puntos
, que equidistan de los extremos
y
.
![\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}](/wikipedia/images/math/d/6/c/d6cced240b3aab824f1196099f6d289b.png)
Proposición
La mediatriz de un segmento es una recta.
Para hallar la ecuación de la mediatriz AB, siendo y
tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico
![\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}](/wikipedia/images/math/d/6/c/d6cced240b3aab824f1196099f6d289b.png)
Para ello escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:
![d(P,A)=d(P,B) \;](/wikipedia/images/math/3/0/6/306beda063a7c63ad70b62bc8bf029a6.png)
![\sqrt{(x-x_a)^2+(y-y_a)^2}=\sqrt{(x-x_b)^2+(y-y_b)^2}](/wikipedia/images/math/0/e/5/0e5319ff5f195993a69764dcba7d805d.png)
Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:
![2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+(x_a^2+y_a^2-x_b^2-y_b^2)=0](/wikipedia/images/math/f/c/4/fc48d80096f22bba90eadb71800f2216.png)
Ejemplo: Mediatriz de un segmento
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos y
y represéntala gráficamente.
Para hallar la ecuación del lugar geométrico
![\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}](/wikipedia/images/math/d/6/c/d6cced240b3aab824f1196099f6d289b.png)
escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:
![\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}](/wikipedia/images/math/6/9/5/695186f922bcb0307a15ede931aacc26.png)
Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:
![y=x+3\,](/wikipedia/images/math/2/b/6/2b64056c7be2df0e7f3446d371edd415.png)
Por tanto, la mediatriz del segmento es una recta.
Bisectriz del ángulo entre dos rectas
Ejemplo: Bisectriz del ángulo entre dos rectas
Halla las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman las rectas y
, y la represéntalas gráficamente.
Para hallar la ecuación del lugar geométrico
![\big \{P(x,y) \, , \; d(P,r)=d(P,s) \big \}](/wikipedia/images/math/3/7/2/372264f0472d4b773ef23c1425a92239.png)
escribiremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta:
![\cfrac{|11x+2y-20|}{\sqrt{11^2+2^2}}=\cfrac{|2x+11y+7|}{\sqrt{2^2+11^2}}](/wikipedia/images/math/8/2/d/82d030c4fc94d4872c7ce1919f03a6c3.png)
De aquí salen dos ecuaciones, ya que si , se puede dar que
o que
Así, las dos ecuaciones resultantes son:
o bien
Por tanto, dos rectas, al determinar dos ángulos, dan lugar a dos bisectrices, que son rectas perpendiculares. En la siguiente escena tienes representadas en rojo la segunda y en gris la primera.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Las bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas están formadas por los puntos que equidistan de ambas rectas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Determina la bisectriz del ángulo entre dos rectas dadas en ecuaciones generales.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Determinamos el "incentro" de un triángulo de vértices conocidos. Cae millones de veces todos los años en examen. No es admisible dejarlo escapar.