Lugares geométricos (1ºBach)

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Lugar geométrico

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico.

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento $\overline{AB}$ , es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ , que equidistan de los extremos $A\,$ y $B\,$ .

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}$

Proposición

La mediatriz de un segmento es una recta.

Demostración:

Para hallar la ecuación de la mediatriz AB, siendo $A=(x_a,y_a)\;$ y $B=(x_b,y_b)\;$ tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}$

Para ello escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$d(P,A)=d(P,B) \;$

$\sqrt{(x-x_a)^2+(y-y_a)^2}=\sqrt{(x-x_b)^2+(y-y_b)^2}$

Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:

$2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+(x_a^2+y_a^2-x_b^2-y_b^2)=0$

Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento AB es la ecuación de una recta.

Ejemplo: Mediatriz de un segmento

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos $A(-3,4)\,$ y $B(1,0)\,$ y represéntala gráficamente.

Solución:

Para hallar la ecuación del lugar geométrico

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}$

escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$

Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:

$y=x+3\,$

Por tanto, la mediatriz del segmento es una recta.

Click aquí si no se ve bien la escena

En esta escena puedes obtener la mediatriz de cualquier segmento. Para ello mueve los extremos A y B, o bien modifica las coordenadas manualmente.

Bisectriz del ángulo entre dos rectas

La bisectriz del ángulo que forman las rectas $r\,$ y $s\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ , que equidistan de los lados $r\,$ y $s\,$ .

$d(X,r)=d(X,s)\,$

Por como se ha definido la bisectriz, ésta divide al ángulo que forman las rectas en dos ángulos iguales. Además, como dos rectas determinan dos parejas de ángulos iguales, todo par de rectas determinan dos bisectrices.

Proposición

Las bisectrices del ángulo entre dos rectas son un par de rectas perpendiculares.

Demostración:

Ejemplo: Bisectriz del ángulo entre dos rectas

Halla las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman las rectas $r: \, 11x+2y-20=0$ y $s: \, 2x+11y+7=0$ , y la represéntalas gráficamente.

Solución:

Para hallar la ecuación del lugar geométrico

$\big \{P(x,y) \, , \; d(P,r)=d(P,s) \big \}$

escribiremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta:

$\cfrac{|11x+2y-20|}{\sqrt{11^2+2^2}}=\cfrac{|2x+11y+7|}{\sqrt{2^2+11^2}}$

De aquí salen dos ecuaciones, ya que si $|A|=|B|\,$ , se puede dar que $A=B\,$ o que $A=-B\,$

Así, las dos ecuaciones resultantes son:

$11x+2y-20=2x+11y+7 \quad \rightarrow \; x-y-3=0$

o bien

$11x+2y-20=-2x-11y-7 \quad \rightarrow \; x+y-1=0$

Por tanto, dos rectas, al determinar dos ángulos, dan lugar a dos bisectrices, que son rectas perpendiculares. En la siguiente escena tienes representadas en rojo la segunda y en gris la primera.

Click aquí si no se ve bien la escena

Bisectrices del ángulo entre dos rectas (5´29") Sinopsis: