Potencia de un punto respecto de una circunferencia (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión de fecha 17:49 16 oct 2016; Ver revisión actual
← Revisión anterior | Revisión siguiente →

Tabla de contenidos

1 Potencia de un punto a una circunferencia
2 Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia
3 Eje radical de dos circunferencias
- 3.1 Construcción geométrica del eje radical
4 Centro radical de tres circunferencias

Potencia de un punto a una circunferencia

Se llama potencia del punto $P(p_1,p_2)\,$ respecto a la circunferencia $C\,$ de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ al número

$\mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2=(p_1 -a)^2+(p_2-b)^2-r^2$

Observa que la potencia de $P\,$ respecto a $C\,$ es el valor numérico de la expresión del lado izquierdo de la ecuación de la circunferencia:

$(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0\,$

Proposición

Sea $P(p_1,p_2)\,$ un punto del plano y una circunferencia $C\,$ . Sean $r_1\,$ úna recta que corta a C en dos puntos: $A\,$ y $A'\,$ y sea $r_2\,$ otra recta que corta a $C\,$ en otros dos puntos: $B\,$ y $B'\,$ . Entonces se cumple que:

$\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=\overline{PB} \cdot \overline{PB'}=| \mathcal{P}_C(P) |$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Potencia de un punto respecto a una circunferencia

Calcula la potencia del punto P(6,4) respecto de la circunferencia de centro O(0,0) y radio r=3.

Solución:[Mostrar]

Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia

Dada una circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , un punto $P\,$ ,del plano puede ser:

Exterior a la circunferencia: si $d(P,O)>r\,$
Perteneciente a la circunferencia: si $d(P,O)=r\,$
Interior a la circunferencia: si $d(P,O)<r\,$

En el dibujo de la derecha: A es exterior, B pertenece y C es interior a la circunferencia.

Proposición

Dada una circunferencia $C\,$ y un punto $P\,$ del plano:

Si el punto es exterior a la circunferencia: $\mathcal{P}_C(P)>0$
Si el punto pertenece a la circunferencia: $\mathcal{P}_C(P)=0$
Si el punto es interior a la circunferencia: $\mathcal{P}_C(P)<0$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia

Halla la posición relativa del punto $P(7,-4)\,$ respecto a la circunferencia $C: x^2+y^2-8x+3y+12=0\,$ .

Solución:[Mostrar]

Eje radical de dos circunferencias

Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias.

Ejemplo: Eje radical de dos circunferencias

Halla el eje radical de las circunferencias:

$C_1: x^2+y^2-6x+4y-11=0\,$

$C_2: x^2+y^2+8x-2y-1=0\,$ .

Solución:[Mostrar]

Proposición

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es una recta perpendicular a la recta determinada por los dos centros de las circunferencias.

Demostración:[Mostrar]

Construcción geométrica del eje radical

Construcción geométrica del eje radical

Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar trazando una perpendicular que pase por el punto medio (M en la figura) del segmento determinado por los puntos de contacto de la tangente a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura).

Si las circunferencias son tangentes, el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias.

Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias.

Si una de las circunferencias es interior, se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas (a en la figura). El punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten dentro del papel del dibujo).

Actividad interactiva: Eje radical de dos circunferencias

En la siguiente escena puedes ver como es el eje radical de dos circunferencias.

Actividad:[Mostrar]

Centro radical de tres circunferencias

Centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias.

Cálculo del centro radical de tres circunferencias

Para determinar el eje radical de tres circunferencias, se halla la intersección del eje radical de una pareja de circunferencias con el eje radical de otro par de circunferencias.

Demostración:[Mostrar]