La parábola (1ºBach)

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La parábola

Dados un punto F\, llamado foco, y una recta d\,, llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos P\, del plano que equidistán del foco y de la directriz:

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)=d(P,d) \big \}


Elementos de la parábola:

Una parábola de foco F\, y directriz d\,, determina los siguientes elementos:

  • Vértice: O\,.
  • Distancia del foco a la directriz: p=d(d,F)\,.
Imagen:Parabola.png

ejercicio

Actividad interactiva: Propiedades de la parábola

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la parábola en la que veremos como cualquier "rayo" perpendicular a la directriz que impacte en la curva se refleja y va a parar a su foco.
Actividad 2: Tiro parabólico

Excentricidad de la parábola

La excentricidad de la parábola es el cociente entre c=d(F,O)\, y a=d(O,d)\,. En consecuencia, la excentricidad de la parábola es siempre igual a 1.

e=\cfrac{c}{a}=1

Ecuaciones de la parábola

Ecuación reducida de la parábola

ejercicio

Ecuación reducida de la parábola

La ecuación de una parábola con foco en el eje de abscisas, directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el origen de coordenadas, es:

y^2=2px\,

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación reducida de la parábola

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la parábola con distancia del foco a la directriz p=2\,.

Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas

ejercicio

Ecuación de la parábola con el vértice desplazado del origen de coordenadas

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de ordenadas y vértice en el el punto O(\alpha,\beta)\,, es:

(y-\beta)^2=2p(x-\alpha)\,

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

ejercicio

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto O(\alpha,\beta)\,, es:

(x-\alpha)^2=2p(y-\beta)\,

Esta ecuación también se puede expresar de la siguiente manera:

ejercicio

Ecuación de la parábola con eje de simetría vertical

La ecuación de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y vértice en el el punto O(\alpha,\beta)\,, es:

y = ax^2 + bx + c \,

donde

a = \frac{1}{2p}; \ \ b = \frac{-\alpha}{p}; \ \ c = \frac{\alpha^2}{2p} + \beta

ejercicio

Proposición

Las coordenadas vértice O(\alpha,\beta)\,, de una parábola con directriz paralela al eje de abscisas y = ax^2 + bx + c \,, son:
\alpha = \frac{-b}{2a}; \ \ \beta = \frac{4ac - b^2}{4a}

Construcciones de la parábola

ejercicio

Actividad interactiva: Construcciones de la parábola

Actividad 1: Método basado en su definición como lugar geométrico.
Actividad 2: La parábola como envolvente.
Actividad 3: La parábola generada por el centro de una circunferencia.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_par%C3%A1bola_%281%C2%BABach%29"
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