La elipse (1ºBach)

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La elipse

Dados dos puntos F\, y F'\, llamados focos, y una distancia k\,, llamada constante de la elipse (k > d(F,F')\,), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos P\, del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a k\,:

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)+d(P,F')=k \big \}

Elementos de la elipse

Una elipse de focos F\, y F'\,, con ejes de simetría AA'\, y BB'\,, que se cortan en el centro O\, de la elipse, determina los siguientes segmentos:

  • Semieje mayor: a=\overline{OA}=\overline{OA'}.
  • Semieje menor: b=\overline{OB}=\overline{OB'}.
  • Semidistancia focal: c=\overline{OF}=\overline{OF'}.

ejercicio

Propiedades

  • k=2a\, (constante de la elipse)
  • a=\overline{BF}=\overline{BF'}
  • a^2=b^2+c^2\,
  • c<a\,
Demostración:
  • La constante de la elipse es k=2a\,, ya que, al ser A\, un punto de la elipse:

k=\overline{AF}+\overline{AF'}=\overline{AF}+\overline{A'F}=2a


  • Por ser B\, un punto de la elipse:

\overline{BF}+\overline{BF'}=2a \rightarrow \overline{BF}=\overline{BF'}=a


  • Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo BOF\,, tenemos

a^2=b^2+c^2\,


  • Por ser a\, la hipotenusa y c\, un cateto, tenemos que c<a\,.
Imagen:Elipse.png

Propiedad de la elipse     Descripción:

En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la elipse en la que veremos como cualquier "rayo de luz" que parta de uno de sus su focos (considerando que la elipse se comporta como un espejo) se refleja en la elipse y va a parar al otro foco.

Excentricidad de la elipse

La excentricidad de la elipse es el cociente entre la distancia focal y el eje mayor:

e=\cfrac{c}{a}

ejercicio

Propiedades

  • En una elipse 0<e<1\,.
  • Una elipse más se parece a a una circunferencia, cuanto más se aproxime a 0 su excentricidad.
Demostración:
  • Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que a>c \rightarrow \cfrac{c}{a}<1
y como a>0\, y c>0\,, tenemos que \cfrac{c}{a}>0
  • Cuanto más próxima a 0 sea la excentricidad, más proximo a cero estará c\, (la distancia focal se aproximará a cero) y a\, se aproximará a b\,. Así, la elipse, se aproximará a una circunferencia de centro los focos y radio a=b\,.

Excentricidad de la elipse     Descripción:

En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la elipse si modificamos su excentricidad.

Ecuaciones de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

ejercicio

Ecuación reducida de la elipse

La ecuación de una elipse con semieje mayor a\, y semieje menor b\,, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1

Demostración:

Sean F(c,0)\, y F'(-c,0)\, los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:

d(P,F)+d(P,F')=2a\,

Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática:

\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a

Pasamos la segunda raíz al segundo miembro:

\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}

Se elevan al cuadrado ambos miebros y se simplifica:

x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2-4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}

-4cx-4a^2=-4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}

cx+a^2=a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}

Se elevan al cuadrado los dos miembros:

c^2x^2+a^4+2ca^2x=a^2(x^2+c^2+2cx+y^2)\,

Reordenando y agrupando términos:

(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2b^2\,

Teniendo en cuenta que a^2-c^2=b^2\,:

b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\,

Dividiendo la expresión por a^2b^2\,:

se obtiene la cuación buscada:

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1

Ecuación reducida de la elipse     Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la elipse de semiejes 5 y 9.

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

ejercicio

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

La ecuación de una elipse con semieje mayor a\, y semieje menor b\,, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:

\cfrac{x^2}{b^2}+\cfrac{y^2}{a^2}=1

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas

ejercicio

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen

La ecuación de una elipse con semiejes a\, y b\, y centro O(\alpha,\beta)\, es:
  • Si el eje FF' es paralelo al eje X:

\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1

  • Si el eje FF' es perpendicular al eje X:

\cfrac{(x-\alpha)^2}{b^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{a^2}=1

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas     Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la elipse de centro O(3,-1) y semiejes 5 y 2.

Construcciones de la elipse

ejercicio

Actividad interactiva: Construcciones de la elipse

Actividad 1: Método del jardinero.
Actividad:
Los jardineros, para trazar una forma elíptica sobre la tierra, clavan dos estacas en el suelo, atan entre ambas una cuerda suficientemente amplia y, manteniéndola tensa, trazan una línea sobre la tierra apoyando un palo sobre la cuerda y deslizándolo sobre la misma.

En la siguiente escena, activa la traza, desliza el punto P y observa.

  1. ¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
  2. ¿Qué representan los segmentos morados?
  3. ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
  4. ¿Qué ocurre si pones c=0?


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Actividad 2: La elipse como envolvente (1).
Actividad:
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Desliza el punto Q y observa.

  • ¿Qué cumple el segmento QR en cada momento respecto al punto F?

Activa el trazo de QR y vuelve a deslizar el punto Q

  • ¿Cuál es la envolvente de la familia de segmentos QR?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de segmentos?

Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F y repite lo anterior.

  • ¿De qué modo influye la posición relativa de F en la forma de la elipse generada?
Actividad 3: La elipse como envolvente (2).
Actividad:
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Desliza el punto Q y observa. La figura muestra por donde habría de doblarse la cicunferencia (si fuese de papel) para que el punto Q coincidiese con el F.

Activa el trazo de la cuerda y vuelve a deslizar el punto Q

  • ¿Cuál es la envolvente de la familia de esas cuerdas?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de segmentos?

Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F y repite lo anterior.

  • ¿De qué modo influye la posición relativa de F en la forma de la elipse generada?
Actividad 4: La elipse a partir de dos circunferencias.
Actividad:
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Desliza el punto Q y observa.

  • ¿Cómo está determinado el punto P?
Activa su trazo y vuelve a deslizar el punto Q.
Actividad 5: La elipse como hipotrocoide.
Actividad:
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Desliza el punto verde y observa.
Actividad 6: La elipse mediante el compás de Arquímedes.
Actividad:
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Al utilizar el deslizador comprobarás el movimiento de un segmento de longitud fija cuyos extremos se deslizan sobre dos ejes perpendiculares.

  • ¿Qué trayectoria describirá un punto determinado de ese segmento?
Activa el trazo de P para comprobarlo.
Actividad 7: La elipse a partir de dos circunferencias tangentes interiores.
Actividad:
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Desliza el punto Q y observa.

Activa el trazo del centro de la circunferencia interior y vuelve a deslizar el punto Q.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_elipse_%281%C2%BABach%29"
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