La elipse (1ºBach)

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La elipse

Dados dos puntos F\, y F'\, llamados focos, y una distancia k\,, llamada constante de la elipse (k > d(F,F')\,), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos P\, del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a k\,:

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)+d(P,F')=k \big \}

Elementos de la elipse

Una elipse de focos F\, y F'\,, con ejes de simetría AA'\, y BB'\,, que se cortan en el centro O\, de la elipse, determina los siguientes segmentos:

  • Semieje mayor: a=\overline{OA}=\overline{OA'}.
  • Semieje menor: b=\overline{OB}=\overline{OB'}.
  • Semidistancia focal: c=\overline{OF}=\overline{OF'}.

ejercicio

Propiedades

  • k=2a\, (constante de la elipse)
  • a=\overline{BF}=\overline{BF'}
  • a^2=b^2+c^2\,
  • c<a\,
Imagen:Elipse.png

Excentricidad de la elipse

La excentricidad de la elipse es el cociente entre la distancia focal y el eje mayor:

e=\cfrac{c}{a}

ejercicio

Propiedades

  • En una elipse 0<e<1\,.
  • Una elipse más se parece a a una circunferencia, cuanto más se aproxime a 0 su excentricidad.

Ecuaciones de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

ejercicio

Ecuación reducida de la elipse

La ecuación de una elipse con semieje mayor a\, y semieje menor b\,, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

ejercicio

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

La ecuación de una elipse con semieje mayor a\, y semieje menor b\,, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:

\cfrac{x^2}{b^2}+\cfrac{y^2}{a^2}=1

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas

ejercicio

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen

La ecuación de una elipse con semiejes a\, y b\, y centro O(\alpha,\beta)\, es:
  • Si el eje FF' es paralelo al eje X:

\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1

  • Si el eje FF' es perpendicular al eje X:

\cfrac{(x-\alpha)^2}{b^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{a^2}=1

Construcciones de la elipse

ejercicio

Actividad interactiva: Construcciones de la elipse

Actividad 1: Método del jardinero.
Actividad 2: La elipse como envolvente (1).
Actividad 3: La elipse como envolvente (2).
Actividad 4: La elipse a partir de dos circunferencias.
Actividad 5: La elipse como hipotrocoide.
Actividad 6: La elipse mediante el compás de Arquímedes.
Actividad 7: La elipse a partir de dos circunferencias tangentes interiores.

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