Funciones arco (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Función arcoseno
2 Función arcocoseno
3 Función arcotangente

(Pág. 261)

Función arcoseno

La función seno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo $[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,]$ entonces es biyectiva y tiene inversa. A su inversa la llamaremos arcoseno.

La función arcoseno se define como

$\begin{matrix} f:[-1,1] \rightarrow [-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,] \\ \, \qquad \qquad \qquad \ \ \ x \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ y=arcsen(x) \end{matrix}$

donde $arcsen(x)\;$ es el ángulo comprendido entre $-\cfrac{\pi}{2}$ y $\cfrac{\pi}{2}$ tal que su seno es igual a $x\;$

Propiedades

La función arcoseno tiene las siguientes propiedades:

$D_f=[-1,1]\;$ e $Im_f=[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,]$
Es continua en su dominio.
Su grafica es simétrica de la de su función inversa, el seno, respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

Funciones seno y arcoseno. Observa la simetría entre ambas.

Función arcocoseno

La función coseno no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo $[0,\pi]\;$ entonces es biyectiva y tiene inversa. A su inversa la llamaremos arcocoseno.

La función arcocoseno se define como

$\begin{matrix} f:[-1,1] \rightarrow [0,\pi]\, \\ \, \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \ x \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ y=arccos(x) \end{matrix}$

donde $arccos(x)\;$ es el ángulo comprendido entre $0\;$ y $\pi\;$ tal que su coseno es igual a $x\;$

Propiedades

La función arcocoseno tiene las siguientes propiedades:

$D_f=[-1,1]\;$ e $Im_f=[0,\pi]\,$
Es continua en su dominio.
Su grafica es simétrica de la de su función inversa, el coseno, respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

Funciones coseno y arcocoseno. Observa la simetría entre ambas.

Función arcotangente

La función tangente no es inyectiva, pero si restringimos su dominio al intervalo $(-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,)$ entonces es biyectiva y tiene inversa. A su inversa la llamaremos arcoseno.

La función arcotangente se define como

$\begin{matrix} f:\mathbb{R} \rightarrow (-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\,) \\ \, \qquad \qquad \ \ \ \ x \rightarrow \ \ \ \ y=arctan(x) \end{matrix}$

donde $arctan(x)\;$ es el ángulo comprendido entre $-\cfrac{\pi}{2}$ y $\cfrac{\pi}{2}$ tal que su tangente es igual a $x\;$

Propiedades

La función arcotangente tiene las siguientes propiedades:

$D_f=\mathbb{R}$ e $Im_f=(-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2})\,$
Es continua en su dominio.
Su grafica es simétrica de la de su función inversa, la tangente, respecto de la bisectriz del primer cuadrante.