Límite de una función en un punto (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Introducción al concepto de límite
2 Límite de de una función en un punto
3 Límites infinitos. Asíntotas verticales
- 3.1 Ejercicios propuestos
4 Continuidad de una función en un punto
5 Tipos de discontinuidad
6 Ejercicios

(Pág. 276)

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Introducción al concepto de límite

Los siguientes vídeos te servirán para poder entender el tan importante concepto de límite de una función.

Introducción al concepto de límite

Tutorial 1 (9'24") Sinopsis:

Introducción al concepto de límites explicado de forma gráfica.

Tutorial 2 (15'39") Sinopsis:

Breve introducción al concepto de límites, explicando de forma gráfica y numérica dicho concepto con varios ejemplos.

Ejemplo 1 (6'47") Sinopsis:

El concepto de límite explicado de forma gráfica con un ejemplo.

Ejemplo 2 (6'54") Sinopsis:

Estudio de la continuidad de una función dada por su gráfica.

Cálculo del límite mediante aproximación numérica (30'13") Sinopsis:

Cálculo del límite de una función, dada por su expresión analítica, utilizando una tabla de valores.

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Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la izquierda" ( $x \rightarrow a^-$ ) cuando $x\;$ toma valores menores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ por la derecha" ( $x \rightarrow a^+$ ) cuando $x\;$ toma valores mayores que $a\;$ , cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera.
Decimos que " $x\;$ tiende a $a\;$ " ( $x \rightarrow a$ ) cuando $x\;$ toma valores cada vez más próximos a $a\;$ , tan próximos a $a\;$ como se quiera, tanto a su izquierda como a su derecha.

La vida en la recta real (11'13") Sinopsis:

La clave para entender el Cálculo Diferencial de una variable y divertirse con él es aprender a "meterse en la piel" de un habitante genérico "x" de la recta real. En este vídeo describimos la vida de "x" ("x" eres tú) en el alambre infinito donde vive: un universo de una única dimensión.

Los puntos en la recta real.
Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
Aproximación a $+\infty$ y $-\infty$ .

Recordando cosas importantes (nivel superior) (11'47") Sinopsis:

Concepto de distancia entre dos puntos.
Concepto de entorno de un punto.
Aproximación a un punto por la derecha y por la izquierda.
Aproximación a $+\infty$ y $-\infty$ .

Dada una función $f(x)\;$ , cuando la variable independiente $x\;$ se aproxima a un cierto punto $a\;$ , ya sea por la derecha o por la izquierda, $f(x)\;$ va tomando valores que pueden aproximarse o no a un cierto punto. Diremos que:

Una función $f(x)\;$ tiene límite por la izquierda en un punto $a\;$ , si existe un número $L_1 \in \mathbb{R}$ , de manera que cuando $x \rightarrow a^-\;$ , los correspondientes valores $f(x) \rightarrow L_1$ . Lo representaremos:

$\lim_{x \to a^-} f(x)=L_1$

Una función $f(x)\;$ tiene límite por la derecha en un punto $a\;$ , si existe un número $L_2 \in \mathbb{R}$ , de manera que cuando $x \rightarrow a^+\;$ , los correspondientes valores $f(x) \rightarrow L_2$ . Lo representaremos:

$\lim_{x \to a^+} f(x)=L_2$

Una función $f(x)\;$ tiene límite en un punto $a\;$ , si existe un número $L \in \mathbb{R}$ de manera que

$\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)=L$

y lo representaremos:

$\lim_{x \to a} f(x)=L$

Nótese que aunque existan los límites laterales, si estos no coinciden, el límite no existe.

La Madre del Cordero del Cálculo (8'53") Sinopsis:

En este vídeo, el más importante de todos, hablamos del mágico instante en que tú, el número real "x", por amor, consagras gozosamente tu existencia a la observación y análisis de la Dulcinea "f(x)" que da sentido a tu vida y la llena de alegría y diversión.

Límite de una función en un punto. Límites laterales (28'30") Sinopsis:

En este vídeo hablamos de los dos límites laterales de una función "f" en un punto "a" (límite de "f" en "a" por la izquierda y límite de "f" en "a" por la derecha), interpretándolos en términos geométricos. Si dichos dos límites laterales de "f" en "a" son iguales a "L", se dice que "L" es el límite de "f" en "a".

Conceptos de límite de una función por la derecha y por la izquierda de un punto.
Concepto de límite de una función en un punto.
Se puede calcular el límite en un punto independientemente de que el punto pertenezca o no al dominio de la función. Ejemplos.

El límite de una función en un punto según Cauchy (nivel superior) (18'31") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite de una función en un punto.

AVISO: Este video excede el nivel de 1º de Bachillerato.

Funciones sin límite en un punto (nivel superior) (17'06") Sinopsis:

Sólo tiene sentido calcular los límites laterales de una función en un punto cuando la función está definida en las "proximidades" del punto.

AVISO: Este video excede, en parte, el nivel de 1º de Bachillerato.

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Límites infinitos. Asíntotas verticales

El concepto de límite visto en el apartado anterior puede extenderese al caso en que, al aproximarnos al punto $a\;$ , la función se aproxime a $+\infty$ ó $-\infty$ .

Una función $f(x)\;$ tiende a $+\infty$ por la izquierda de un punto $a\;$ , si $f(x)\;$ se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables, cuando $x \rightarrow a^-\;$ . Lo representaremos:

$\lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

Una función $f(x)\;$ tiende a $+\infty$ por la derecha de un punto $a\;$ , si $f(x)\;$ se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables, cuando $x \rightarrow a^+\;$ . Lo representaremos:

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Una función $f(x)\;$ tiende a $+\infty$ en un punto $a\;$ , si

$\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

y lo representaremos:

$\lim_{x \to a} f(x)=+\infty$

De forma análoga se puede definir la tendencia a $-\infty$ si cambiamos la frase "se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables" por "se aproxima a valores negativos cada vez más pequeños y no acotables", en los tres casos.

En todos estos casos diremos que la función tiene una asíntota vertical en el punto $x=a\;$ .

Advertencia

Algunos autores consideran que cuando un límite es infinito, dicho límite no existe. Estos autores se ciñen a la definición rigurosa de límite, que se ve en cursos superiores.

Límites infinitos (14'32") Sinopsis:

En este vídeo definimos el concepto de límite infinito de una función en un punto y lo interpretamos geométricamente: asíntotas verticales.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Límite de una función en un punto

(Pág. 276)

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Continuidad de una función en un punto

Una función $f(x)\;$ es continua en un punto $a\;$ , si se cumple que:

$\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$

Para que ésto se cumpla deben ocurrir las tres condiciones siguientes:

La función $f(x)\;$ tiene límite en $x=a\;$ : Existe $\lim_{x \to a} f(x)=L$
La función está definida en $x=a\;$ : Existe $f(a)\;$
Los dos valores anteriores coinciden: $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$

Continuidad de una función en un punto

Tutorial 1 (22'31") Sinopsis:

En este vídeo introduciremos el concepto de continuidad de forma gráfica, calculando los límites laterales a partir de la información de la curva.

Tutorial 2 (31'04") Sinopsis:

En este vídeo definiremos cuando una función es continua en un punto usando el concepto de límite y veremos algunos ejemplos en los que usaremos tablas de valores para calcular los límites laterales.

Tutorial 3 (13'37") Sinopsis:

La función "f" se dice continua por la izquierda (derecha) en el punto "a" si el límite de "f" en "a" por la izquierda (derecha) es finito y coincide con f(a). Se dice que "f" es continua en "a" si es continua por la izquierda y por la derecha en "a".

Tutorial 4 (10'57") Sinopsis:

Continuidad de una función. Ejemplos gráficos.

Continuidad de una función en un intervalo (4'19") Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

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Tipos de discontinuidad

Tipos de discontinuidades

Tutorial 1 (9'21") Sinopsis:

Continuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidades

Tutorial 2 (16'07") Sinopsis:

Ejemplos de los distintos tipos de discontinuidad.

Tutorial 3 (5'33") Sinopsis:

Ejemplos gráficos de los distintos tipos de discontinuidad.

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad evitable en un punto $x=a\;$ si existe $\lim_{x \to a} f(x)=L \in \mathbb{R}$ pero éste no coincide con $f(a)\;$ , bien porque $f(x)\;$ no esté definida en $x=a\;$ o bien porque simplemente sean distintos.

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Discontinuidad evitable

Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)

$\lim_{x \to a} f(x)=c \in \mathbb{R}$ , pero $\not\exist f(a)$

Evitable (punto desplazado que deja un hueco)

$\lim_{x \to a} f(x)=c \in \mathbb{R}$ , pero $c \ne f(a)=d$

Ejemplo: Discontinuidad evitable

Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad evitable:

a) $y=\cfrac{x^2-2x}{(x-2)}$ b) $y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \ne 1 \\ 3 & \mbox{si }x=1 \end{cases}$

Solución:

a) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.

b) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Discontinuidad evitable

Tutorial (10'09") Sinopsis:

La función "f" presenta "discontinuidad evitable" en el punto "a" si tiene límite finito en "a" pero no coincide con f(a). El términos geométricos significa que la gráfica de "f" tiene un "agujerito" en "a". Se "evita" la discontinuidad "rellenando" el agujerito; y para ello basta redefinir "f" de modo que f(a) coincida con el límite de "f" en "a".

1. Ejemplos (6') Sinopsis:

Ejemplos

2. Ejemplos (7'07") Sinopsis:

Ejercicio de examen para Ministro

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Discontinuidad esencial de primera especie

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto finito en un punto $x=a\;$ si existen los límites laterales en dicho punto y son finitos, pero estos no coinciden:

$\lim_{x \to a^+} f(x) \ne \lim_{x \to a^-} f(x)$

Se llama salto al valor absoluto de la diferencia enter ambos límites:

$salto=|\lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x)|$

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no, y puede coincidir o no con uno de los dos límites laterales.

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; \not\exist f(a)$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=c$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=d$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=e$

Ejemplo: Discontinuidad de salto finito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto finito y averigua el valor del salto:

$y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 2 \\ 1 & \mbox{si }x>2 \end{cases}$

Solución:

En x=2 tiene una discontinuidad de salto finito. El salto es igual a $| 2 - 1 | = 1$ .

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto infinito si existen los límites laterales, siendo uno finito y otro infinito.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no, y puede coincidir o no con el límite lateral finito.

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Ejemplo: Discontinuidad de salto infinito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto ifinito:

$y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 0 \\ \cfrac{1}{x} & \mbox{si }x>0 \end{cases}$

Solución:

En x=0 tiene una discontinuidad de salto infinito.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica si si existen los límites laterales, siendo ambos + o - infinito, pero no necesariamente iguales.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no.

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Ejemplo: Discontinuidad asintótica

Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad asintótica:

a) $y = \cfrac{2}{x+2}$ b) $y = \cfrac{1}{x^2}$

Solución:

a) En x=-2 tiene una discontinuidad asintótica.

b) En x=0 tiene una discontinuidad asintótica.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Discontinuidad de primera especie

Tutorial (4'57") Sinopsis:

La función "f" presenta "discontinuidad de primera especie" en el punto "a" si los límites laterales de "f" en "a" son distintos. El términos geométricos significa que la gráfica de "f" da un "salto" en "a".

1. Ejemplos (12'05") Sinopsis:

3 ejercicios sobre discontinuidades de primera especie

2. Ejemplos (16'38") Sinopsis:

3 ejercicios sobre discontinuidades de primera especie

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Discontinuidad esencial de segunda especie

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no.

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^+} f(x) \, ; \not \exist \lim_{x \to a^-} f(x)$

Es oscilante por ambos lados

"f(a)" puede estar definida o no

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^+} f(x) \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

Es oscilante por la derecha

"f(a)" puede estar definida o no

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^-} f(x) \, ; \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

Es oscilante por la izquierda

"f(a)" puede estar definida o no

Ejemplo: Discontinuidad de segunda especie

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de segunda especie:

$y = sen \, \frac{1}{x}$

Solución:

En x=0 tiene una discontinuidad de segunda especie.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Advertencia

Algunos autores incluyen dentro de las discontinuidades de segunda especie los siguientes casos:

No hay función a la derecha de a

No hay función a la izquierda de a

No hay función ni a la derecha ni a la izquierda de a

No obstante, en estos casos, nosotros no diremos que la función sea discontinua en "a". Para explicar esto con rigor es necesario recurrir a la definición formal de continuidad que se verá en cursos posteriores.

Como ejemplo de esto que estamos diciendo tienes el siguiente video:

Discontinuidad de segunda especie (11'06") Sinopsis:

La función "f" presenta "discontinuidad de segunda especie" en el punto "c" si no existe alguno de los límites laterales de "f" en "c".

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