Plantilla:Cálculo del límite de una función (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Cálculo del límite de una función en un punto

El cálculo del límite de una función en un punto puede ser muy fácil (inofensivo) o difícil (peligroso). Vamos a ver como hay que proceder en cada caso. En los siguientes videos puedes ver algunas nociones previas de interés.

Cálculo del límite de una función en un punto (7'23")     Sinopsis:

Problema típico: te dan la función "f" y te piden que, si existe, calcules su límite en el punto "c".

  • Límites inofensivos: si para calcular f(c) no se viola ninguna Regla Sagrada, la función "f" tiene límite en "c" y coincide con f(c); o sea, existen los dos límites laterales de "f" en "c" y coinciden con f(c).
  • Límites peligrosos: si para calcular f(c) se viola ninguna Regla Sagrada, el cálculo del límite de "f" en "c" puede ser muy complicado, y no hay ninguna receta mágica que resuelva el problema en todos los casos.

No debes olvidar que para calcular el límite en un punto nos importa un pito si la función está o no definida en dicho punto, sólo nos interesa que la función está definida en las proximidades del punto.

Paso al límite (6'37")     Sinopsis:

La operación lógica que llamamos paso al límite (PL) se reduce a conjugar la tercera persona del singular del presente de indicativo del verbo tender.

Recuerda: al escribir x → c (se lee "x" tiende a "c") queremos decir que "x" (o sea, tú) se aproxima a "c" indistintamente por la izquierda o por la derecha.

Operaciones con límites (2'33")     Sinopsis:

Este vídeo es muy importante: en él hablamos de operaciones con límites, y las efectuaremos constantemente a partir de ahora.

Límite en un punto en el que la función es continua

El caso más sencillo de cálculo del límite de una función en un punto es aquel en el que la función es continua en dicho punto. En efecto:

ejercicio

Proposición

Si f(x)\; es continua en el punto x=c\;, entonces
\lim_{x \to c} f(x)=f(c)
Demostración:
Es inmediato, por la propia definición de función continua en un punto.

ejercicio

Ejemplo: Cálculo del límite en un punto en el que la función es continua

Calcula:

\lim_{x \to 3} \cfrac{x-2}{x-5}
Solución:

D_f= \mathbb{R}-\{5\} y sabemos que la función es continua en su dominio por ser una función elemental (cociente de funciones polinómicas).

Como 3 \in D_f, entonces f\; es continua en 3 y, por tanto:

\lim_{x \to 3} f(x)=f(3)=\cfrac{3-2}{3-5}=-\cfrac{1}{2}

Ejemplo de límite inofensivo (8'03")     Sinopsis:
Cálculo de \lim_{x \to 7} \, 4x+2

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Límite en un punto en el que la función es continua

(Pág. 278)

1

Límite de funciones a trozos

A continuación vamos a ver cómo se estudian los límites de una función definida a trozos. Por simplicidad supondremos que la función consta de sólo dos trozos, pero el procedimiento es extensible a funciones definidas en más de dos trozos.

ejercicio

Procedimiento

Consideremos la siguiente función definida a trozos:

f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \mbox{si }x < a \\ f_2(x) & \mbox{si }x>a \end{cases}

Para el estudio del \lim_{x \to c} f(x) consideraremos los siguientes casos:

  1. c<a\;: \lim_{x \to c} f(x)=\lim_{x \to c} f_1(x)
  2. c>a\;: \lim_{x \to c} f(x)=\lim_{x \to c} f_2(x)
  3. c=a\;: Es necesario calcular los límites laterales y si éstos coinciden existirá el límite.
     \lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^-} f_1(x)
     \lim_{x \to a^+} f(x)=\lim_{x \to a^+} f_2(x)

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos

Estudia la continuidad de la siguiente función:

y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+1 & \mbox{si }x>1 \end{cases}
Solución:

Veamos primero como es la función en cada trozo:

  • Si x<1\;, f(x)=x^2\; es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en \mathbb{R}, en particular en (-\infty,1).
  • Si x>1\;, f(x)=2x+1\; es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en \mathbb{R}, en particular en (1,+\infty).

Falta estudiar la continuidad en x=1\;.

Recordemos que una función f\; es continua en x=c\; si

\lim_{x \to c} f(x)=f(c)

o equivalentemente, si

\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)=f(c)

Calculemos los límites laterales y el valor de la función en x=1\;:

  • \lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-} x^2=1^2=1
  • \lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+} 2x+1=2 \cdot 1+1=3
  • f(1)= 1^2=1\;.

Como 1 \ne 3, los límites laterales no coinciden y, por tanto, no existe el límite en x=1\;. En consecuencia, la función no es continua en x=1\;.

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función definida a trozos

Halla el valor del parámetro "n" para que la función sea continua en toda la recta real:

y = \begin{cases} x^2 & \mbox{si }x \le 1 \\ 2x+n & \mbox{si }x>1 \end{cases}
Solución:

Veamos primero como es la función en cada trozo:

  • Si x<1\;, f(x)=x^2\; es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en \mathbb{R}, en particular en (-\infty,1).
  • Si x>1\;, f(x)=2x+n\; es continua por ser una función polinómica, ya que sabemos que toda función polinómica es continua en \mathbb{R}, en particular en (1,+\infty).

Falta estudiar la continuidad en x=1\;.

Recordemos que una función f\; es continua en x=c\; si

\lim_{x \to c} f(x)=f(c)

o equivalentemente, si

\lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x)=f(c)

Calculemos los límites laterales y el valor de la función en x=1\;:

  • \lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^-} x^2=1^2=1
  • \lim_{x \to 1^+} f(x)=\lim_{x \to 1^+} 2x+n=2 \cdot 1+n=2+n
  • f(1)= 1^2=1\;.

Para que los dos límites laterales coincidan con f(1)\; deberá ocurrir que:

2+n = 1 \ \rightarrow \ n=-1

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones     Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Ejemplo 1 y 2 (9'41")     Sinopsis:

Halla el valor de "a" y "b" para que las siguientes funciones sean continuas en el conjunto de los números reales:

a) f(x) = \begin{cases} ax-b & \mbox{si }x \le -1 \\ ax^2-bx+3 & \mbox{si }-1<x \le 2 \\ a-bx^3 & \mbox{si }x > 2 \end{cases}
a) f(x) = \begin{cases} ax^2+b & \mbox{si }x < 0 \\ x-a & \mbox{si }0 \le x<1 \\ b+\frac{a}{c} & \mbox{si }x \ge 1 \end{cases}
Ejemplo 3 (7'49")     Sinopsis:

Estudio de la continuidad de una función definida a trozos con parámetros.

Ejemplo 4 (3'40")     Sinopsis:

Halla el valor de "h" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales:

f(x) = \begin{cases} 3hx+1 & \mbox{si }x \le 3 \\ 2x^2+hx-5 & \mbox{si }x>3 \end{cases}
Ejemplo 5 (13'12")     Sinopsis:

Halla el valor de "a" y "b" para que la siguiente función se continua en el conjunto de los números reales:

f(x) = \begin{cases} 3x^2-1 & \mbox{si }x \le -1 \\ 2ax+3b & \mbox{si }-1<x<2 \\ 4x+7 & \mbox{si }x \ge 2 \end{cases}

Límites peligrosos

Vamos a considerar que un límite es "peligroso" o difícil de calcular, si la función en dicho punto no está definida y, por tanto, no podemos aplicar la propiedad de que el valor del límite en un punto en el que la función es continua coincide con el valor de la función en dicho punto.

Límites peligrosos (13'41")     Sinopsis:

En este vídeo establecemos el protocolo de actuación cuando al hacer un PL nos encontramos con cualquiera de las siguientes tres situaciones:

  • Cociente cuyo denominador tiende a 0, pero no así el númerador.
  • Logaritmo de un número que tiende a 0.
  • Raíz de índice par de un número que tiende a 0.

Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

ejercicio

Procedimiento

Cuando el denominador de la función se anula en el punto en el que queremos calcular el límite, nos podemos encontrar con dos situaciones:

  1. El numerador no se anula: entonces calcularemos los límites por la derecha y por la izquierda que podrán ser +\infty ó -\infty. En tal caso el límite podrá no existir (si los límites laterales no coinciden) o podrá der +\infty ó -\infty (si los límites laterales coinciden).
  2. El numerador también se anula: entonces tendremos una indeterminación del tipo 0/0. Para resolverla haya que recurrir a técnicas especiales. El caso en el que la función sea racional lo trataremos más adelante.

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador

Calcula el valor de los siguientes límites:

a) \lim_{x \to 0} \frac{1}{sen \,x}         b) \lim_{x \to 0} \frac{x}{sen \,x}
Solución:

a) No existe el límite porque:

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{sen \,x}=+ \infty, ya que el denominador tiende a 0 + .
\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{sen \,x}=- \infty, ya que el denominador tiende a 0 − .

Para calcular esos límites se debe recurrir a una tabla de valores con valores cercanos a 0 por la derecha y por la izquierda.

b) El numerador y el denominador tienden a 0 (a esto se le llama una "indeterminación del tipo 0/0"). Usando la calculadora (no tenemos otra herramienta en este curso para este caso), se puede comprobar que:

\lim_{x \to 0} \frac{x}{sen \,x}=1

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones     Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Límite de cociente de funciones polinómicas

ejercicio

Procedimiento

Sea f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}, con P(x)\; y Q(x)\; dos polinomios en x.

  1. \mbox{Si} \ Q(c) \ne 0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{P(c)}{Q(c)}
  2. \mbox{Si} \ P(c) \ne 0 \ \ \mbox{y} \ \ Q(c)=0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}=\pm \infty. En este caso será necesario estudiar los límites laterales para determinar el signo del infinito por cada lado. Podemos hacer uso de la calculadora.
  3. \mbox{Si} \ P(c)=Q(c)=0 \ \Rightarrow \ \lim_{x \to c} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \mbox{indeterminado (0/0)}. Para resolver la indeterminación simplificaremos la fracción, ya que al anularese los dos polinomios deberán tener factores comunes. Una vez simplificada volveremos a calcular el límite, pudiendo darse cualquiera de las tres situaciones que acabamos de ver, repitiendo el proceso hasta que estemos en los caso 1 ó 2 y quede calculado el límite.

ejercicio

Ejemplo: Límite de una función cociente de polinomios

Calcula el valor de los siguientes límites y haz un esbozo gráfico del resultado:

a) \lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-2}         b) \lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x^2+3x-10}
Solución:

a) Estamos en el el segundo caso y tendremos que estudiar los límites laterales:

\lim_{x \to 2^-} \frac{x+1}{x-2}=- \infty. Usando la calculadora, dando a x valores próximos a 2 por la izquierda: 1.99, 1.999,...
\lim_{x \to 2^+} \frac{x+1}{x-2}=+ \infty. Usando la calculadora, dando a x valores próximos a 2 por la derecha: 2.01, 2.001,...


b) Estamos en el caso 3 porque numerador y el denominador se anulan en x=2 (indeterminación del tipo 0/0). Debemos simplificar la fracción:

\lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x^2+3x-10}=\lim_{x \to 2} \frac{(x-3)(x-2)}{(x+5)(x-2)}=\lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x+5}
Ahora estamos en el caso 1:
\lim_{x \to 2} \frac{x-3}{x+5}=\frac{2-3}{2+5}=\frac{-1}{7}

Para ver el comportamiento gráfico usa la siguiente escena de Geogebra:

Representador de funciones     Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

ejercicio

Ejemplos: Tipo a/0

Ejemplos 1, 2 y 3 (12'45")     Sinopsis:

3 ejemplos de límites del tipo 0/0:

a) \lim_{x \to 3^+} \frac{x+2}{x-3}
b) \lim_{x \to 7^-} \frac{2x+1}{x-7}
c) \lim_{x \to 2} \frac{5-x}{x-2}

Ejemplo 4 (19'58")     Sinopsis:

Límite del tipo a/0:

\lim_{x \to 2} \frac{x^2-x+5}{x-2}

Ejemplos 5 y 6 (13'16")     Sinopsis:

2 ejemplos de límites del tipo a/0:

a) \lim_{x \to 5} \frac{x-2}{x-5}
b) \lim_{x \to 5} \frac{2x}{5-x}

ejercicio

Ejemplos: Tipo 0/0

Ejemplo 1 (7'01")     Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

\lim_{x \to -5} \frac{3x^2+15x}{2x^2-50}

Ejemplos 2 y 3 (16'17")     Sinopsis:

2 ejemplos de límites del tipo 0/0:

a) \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x}{x^2-1}
b) \lim_{x \to 1} \frac{x^4-1}{x^3-x^2+x-1}
Ejemplo 4 (8'40")     Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

\lim_{x \to -1} \frac{4x^2+4x}{x^3+x^2+x+1}

Ejemplo 5 (8'43")     Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

\lim_{x \to 3} \frac{x^3-6x^2+9x}{x^2-9}

Ejemplo 6 (3'37")     Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

\lim_{x \to 4} \frac{x^2-5x+4}{x^2-2x-8}

Ejemplo 7 (6'57")     Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}{x}

Ejemplo 8 (7'32")     Sinopsis:

Límite del tipo 0/0:

\lim_{x \to -2} \frac{\frac{3}{4-x}-\frac{1}{x}}{x+2}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:C%C3%A1lculo_del_l%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"
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