Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (1ºBach)

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Angulos orientados

Un ángulo orientado es aquel que, en un sistema de coordenadas cartesianas, está generado por el giro de una semirecta que parte del semieje positivo de las X. (Fig. 1)

  • El ángulo es positivo cuando está generado en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo cuando está generado en sentido horario.
  • La rotación de la semirrecta puede ser mayor que un giro..

Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro regiones denominadas cuadrantes:

  • Un ángulo \alpha\; pertenece al primer cuadrante si 0^\circ< \alpha <90^\circ
  • Un ángulo \alpha\; pertenece al segundo cuadrante si 90^\circ< \alpha <180^\circ
  • Un ángulo \alpha\; pertenece al tercer cuadrante si 180^\circ< \alpha <270^\circ
  • Un ángulo \alpha\; pertenece al cuarto cuadrante si 270^\circ< \alpha <360^\circ

Fig. 1: Angulo orientado
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Fig. 1: Angulo orientado

Circunferencia goniométrica

Llamaremos circunferencia goniométrica a la circunferencia de radio 1 centrada en un sistema de referencia cartesiano, es decir, con centro en el origen de coordenadas, O.

Sobre la circunferencia goniométrica situaremos nuestro ángulo orientado, \alpha \;. Este genera un triángulo rectángulo ABC, tal y como se muestra en la Fig. 2. En él, el vértice A coincide con el origen O, el cateto contiguo al ángulo \alpha \; se situa en el eje X positivo y la hipotenusa coincide con el radio.

Teniendo en cuenta que \overline{AB} = \overline{OE}= radio = 1, las razones trigonométricas del águlo \alpha \; se expresan de la siguiente manera:

  • sen \, \alpha = \cfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\overline{CB}
  • cos \, \alpha = \cfrac{\overline{OC}}{\overline{AB}}=\overline{OC}
  • tg \, \alpha = \cfrac{\overline{DE}}{\overline{OE}}=\overline{DE}

Fig. 2: Circunferencia goniométrica: De color rojo, el seno; de color verde, el coseno; de color rosa, la tangente
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Fig. 2: Circunferencia goniométrica: De color rojo, el seno; de color verde, el coseno; de color rosa, la tangente

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Obsérvese como, en el apartado anterior, las coordenadas del punto B son (cos \, \alpha , sen \, \alpha ). Así podemos dar la siguiente definición del seno y del coseno de un ángulo de cualquier cuadrante:

  • Dado un ángulo \alpha \,, se define el coseno y el seno de dicho ángulo, como las coordenadas del punto de corte, B, del lado terminal del ángulo con la circunferencia goniométrica:

B=(cos \, \alpha , sen \, \alpha )

  • Definiremos la tangente del ángulo, como:

tg \, \alpha = \cfrac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}    ,    \alpha \ne 90^\circ \, , 270^\circ

Signo de las razones trigonométricas

ejercicio

Determinación del signo de las razones trigonométricas

  • Signo del coseno: Según en qué cuadrante esté el ángulo, el segmento OC que determina al coseno, puede estar situado a la derecha o a la izquierda del origen O. Así, el signo del coseno será positivo si está a la derecha de O y negativo si está a la izquierda.
  • Signo del seno: Según el cuadrante en el que esté el ángulo, el segmento CB que determina al seno, puede estar situado por encima o por debajo del eje X . Así el signo del seno será positivo si está por encima y negativo si está por debajo.

Los siguientes gráficos muestran los distintos casos según en qué cuadrante se encuentre el ángulo:

Cuadrante I
( seno + / cos + )
Cuadrante II
( seno + / cos - )
Cuadrante III
( seno - / cos - )
Cuadrante IV
( seno - / cos + )

Relaciones fundamentales de la trigonometría (ángulos de cualquier cuadrante)

Las relaciones fundamentales de la trigonometría, ya estudiadas anteriormente, siguen siendo válidas con las definiciones dadas para ángulos de cualquier cuadrante.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera

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1, 2, 3, 4

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