Plantilla:Límite de una función (1ºBach)
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Límite de de una función en un punto
El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.
- Decimos que "
tiende a
por la izquierda" (
) cuando
toma valores menores que
, cada vez más próximos a
.
- Decimos que "
tiende a
por la derecha" (
) cuando
toma valores mayores que
, cada vez más próximos a
.
- Decimos que "
tiende a
" (
) cuando
toma valores cada vez más próximos a
.
Dada una función , cuando la variable independiente
se aproxima a un cierto punto
, ya sea por la derecha o por la izquierda,
va tomando valores que pueden aproximarse o no a un cierto punto. Diremos que:
- Una función
tiene límite por la izquierda en un punto
, si existe un número
, de manera que cuando
, los correspondientes valores
. Lo representaremos:

- Una función
tiene límite por la derecha en un punto
, si existe un número
, de manera que cuando
, los correspondientes valores
. Lo representaremos:

- Una función
tiene límite en un punto
, si existe un número
de manera que

y lo representaremos:

Nótese que aunque existan los límites laterales, si estos no coinciden, el límite no existe.
Límites infinitos. Asíntotas verticales
El concepto de límite visto en el apartado anterior puede extenderese al caso en que, al aproximarnos al punto , la función se aproxime a
ó
.
- Una función
tiende a
por la izquierda de un punto
, si
se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables, cuando
. Lo representaremos:

- Una función
tiende a
por la derecha de un punto
, si
se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables, cuando
. Lo representaremos:

- Una función
tiende a
en un punto
, si

y lo representaremos:

- De forma análoga se puede definir la tendencia a
si cambiamos la frase "se aproxima a valores positivos cada vez más grandes y no acotables" por "se aproxima a valores negativos cada vez más pequeños y no acotables", en los tres casos.
- En todos estos casos diremos que la función tiene una asíntota vertical en el punto
.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Límite de una función en un punto |
Continuidad de una función en un punto
Una función es continua en un punto
, si se cumple que:

Para que ésto se cumpla deben ocurrir las tres condiciones siguientes:
- La función
tiene límite en
:
- La función está definida en
: Existe
- Los dos valores anteriores coinciden:
Tipos de discontinuidades
Discontinuidad evitable
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto
si existe
pero éste no coincide con
, bien porque
no esté definida en
o bien porque simplemente sean distintos.
Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)
![]() ![]() | Evitable (punto desplazado que deja un hueco)
![]() ![]() |
Ejemplo: Discontinuidad evitable
Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad evitable:
- a)
b)
Discontinuidad esencial de primera especie
Una función tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto finito en un punto
si existen los límites laterales en dicho punto y son finitos, pero estos no coinciden:

Se llama salto al valor absoluto de la diferencia enter ambos límites:

Nota: puede estar definida o no, y puede coincidir o no con uno de los dos límites laterales.
Salto finito (Salto=d-c)
![]() | Salto finito (Salto=d-c)
![]() |
Salto finito (Salto=d-c)
![]() | Salto finito (Salto=d-c)
![]() |
Ejemplo: Discontinuidad de salto finito
Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto finito y averigua el valor del salto:
Una función tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto infinito si existen los límites laterales, siendo uno finito y otro infinito.
Nota: puede estar definida o no, y puede coincidir o no con el límite lateral finito.
Salto infinito
![]() | Salto infinito
![]() |
Salto infinito
![]() | Salto infinito
![]() |
Ejemplo: Discontinuidad de salto infinito
Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto ifinito:
Una función tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica si si existen los límites laterales, siendo ambos + o - infinito, pero no necesariamente iguales.
Nota: puede estar definida o no.
Asintótica
![]() | Asintótica
![]() |
Asintótica
![]() | Asintótica
![]() |
Ejemplo: Discontinuidad asintótica
Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad asintótica:
- a)
b)
Discontinuidad esencial de segunda especie
Una función tiene una discontinuidad de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales.
Nota: puede estar definida o no.
Segunda especie
![]() | Segunda especie
![]() | Segunda especie
![]() |
Ejemplo: Discontinuidad de segunda especie
Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de segunda especie:
Algunos autores incluyen dentro de este tipo de discontinuidades los siguientes casos:
No hay función a la derecha de a
| No hay función a la izquierda de a
| No hay función ni a la derecha ni a la izquierda de a
|
No obstante, en estos casos, nosotros no diremos que la función sea discontinua en "a". Para explicar esto con rigor es necesario recurrir a la definición formal de continuidad que se verá en cursos posteriores.
Como ejemplo de esto que estamos diciendo tienes el siguiente video: