Estudio y representación de funciones (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Estudio y representación gráfica de funciones
2 Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Estudio y representación gráfica de funciones racionales
4 Estudio y representación gráfica de otras funciones
- 4.1 Ejercicios propuestos

Estudio y representación gráfica de funciones

Procedimiento

En el estudio y representación gráfica de una función, f(x),tendremos que determinar los siguientes apartados:

Dominio de definición de la función f(x).
Puntos de corte con los ejes de coordenadas, especialmente con el eje de abscisas (eje X). Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad. Éstos determinarar una serie de zonas en el dominio de la función en los que ésta tiene signo constante. Tomando un punto cualquiera de cada zona y sustituyéndolo en f(x), tendremos el signo de la función en cada zona.
Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f'(x)=0.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f'(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
Asíntotas y ramas infinitas de f(x): se estudió en temas anteriores.
Simetrías: ver si f(x) es par (f(x)=f(-x)) o impar (f(x)=-f(-x)).

Estudio y representación gráfica de funciones

Signo de una función (5'39") Sinopsis:

A la hora de representar la gráfica de la función "f", el estudio del signo del número real f(x) nos permite conocer la posición de la gráfica respecto al eje de abcisas.

La gráfica está por encima del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es positivo.
La gráfica está por debajo del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es negativo.
La gráfica toca al eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) = 0.

Ejemplos 1 (Signo de una función) (5'45") Sinopsis:

2 ejercicios

Ejemplos 2 (Signo de una función) (5'34") Sinopsis:

4 ejercicios

Simetrías de una función (14'06") Sinopsis:

La función "f" se dice "par" si f(-x) = f(x), y se dice "impar" si f(-x) = -f(x).

Si "f" es par, su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas.
Si "f" es impar, su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Obvio: si Dom f. no es simétrico respecto al punto "0", la función "f" no es par ni impar.

Ceros de una función (3'57") Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

Contacto de una curva con los ejes (15'54") Sinopsis:

Los puntos en que la gráfica de la función "f" "toca" al eje de abcisas (cortándolo o no) son las soluciones de la ecuación f(x) = 0. La gráfica de "f" corta al eje de ordenadas en f(0).

Teorema de Bolzano (4'47") Sinopsis:

La propiedad "D" de Darboux (7'08") Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

Teorema de Weierstrass (23'26") Sinopsis:

Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas

Procedimiento

En el estudio y representación gráfica de una función polinómica, f(x),tendremos que determinar los siguientes apartados:

Dominio: $\mathbb{R}$ .
Puntos de corte: Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver una ecuación polinómica usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos sólo los puntos de corte ya que una función polinómica no tiene discontinuidades.
Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f'(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f'(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
Asíntotas y ramas infinitas: Las funciones polinómicas no tienen ningún tipo de asíntotas. Tan sólo habrá que estudiar el límite cuando x tiende a +/- infinito.
Simetrías: ver si f(x) es par o impar.

Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas

Ejemplo 1: Ceros (4'49") Sinopsis:

Los ceros de un polinomio son los puntos de corte de la función polinómica con el eje X.

En este ejemplo calcularemos los ceros del polinomio $f(x)=(3x-5)\cdot(x^2-6x+9)\;$

Ejemplo 2: Crecimiento y extremos (9'54") Sinopsis:

Crecicmiento y extremos de $f(x)=2x^4-8x-3\;$

Ejemplo 3: Representación gráfica (28'16") Sinopsis:

Estudio y representación gráfica de la función polinómica $f(x)=x^3-6x^2-15x+40\,$

Ejercicios resueltos: Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas

Estudia y representa:

a) $y=x^3-3x^2+4\;$ .

b) $y=3x^4+4x^3-36x^2+100\;$ .

c) $y=-3x^4+4x^3\;$ .

Solución:

Utiliza la siguiente escena para comprobar los resultados.

Representación gráfica de funciones Descripción:

En la siguiente escena puedes ver la representación gráfica de distintas funciones.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Estudio y representación de funciones polinómicas

(Pág. 316)

1b,c

Estudio y representación gráfica de funciones racionales

Procedimiento

En el estudio y representación gráfica de una función racional, $f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}$ ,tendremos que determinar los siguientes apartados:

Dominio: $\mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R} \ / \ Q(x)=0 \}$ .
Puntos de corte: Los puntos de corte con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación f(x)=0, para lo que tendremos que resolver la ecuación polinómica P(x)=0 usando las técnicas vistas en temas anteriores. El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0).
Signo de f(x): para el estudio del signo usaremos los puntos de corte y los puntos de discontinuidad, que son los puntos donde se anula el denominador, es decir, donde Q(x)=0.
Puntos singulares de f(x) que se obtienen resolviendo la ecuación f'(x)=0. Por tanto, tendremos que resolver otra ecuación polinómica.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x): a partir de los puntos singulares y estudiando el signo de f'(x). Así podremos determinar los máximos y mínimos relativos de f(x).
Asíntotas y ramas infinitas:
1. A.V.: Son "candidatos" a asíntota vertical los puntos donde Q(x)=0. Habrá que estudiar el límite de f(x) cuando x tiende a esos puntos candidatos. Aquellos para los que ese límite sea + o - infinito serán puntos con A.V.
2. A.H.: Cuando el grado de Q(x) sea mayor o igual que el grado de P(x) tendremos asíntota horizontal.
3. A.O.: Cuando el grado de P(x) sea igual al grado de Q(x) más uno, tendremos asíntota oblicua.
4. Cuando no haya A.H. ni A.O. tendremos ramas infinitas.
Simetrías: ver si f(x) es par o impar.