Plantilla:Ecuación general o implícita de una recta

La ecuación de la recta también la podemos expresar con todos los términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a cero. Es lo que se denomina:

Ecuación general o implícita de la recta:

$Ax+By+C=0\;\!$

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Halla la ecuación general de la recta $y=3x+\cfrac{4}{3}$ .

Solución:

Nos dan la ecuación explícita:

$y=3x+\cfrac{4}{3}$

Tenemos que pasar todos los términos de la ecuación al lado izquierdo y ordenarlos:

$-3x+y-\cfrac{4}{3}=0$

Opcionalmente, podemos quitar denominadores:

$-9x+3y-4\;\!=0$

Proposición

Si una recta tiene como ecuación general $Ax+By+C=0\;\!$ , entonces su pendiente es igual a:

$m=-\cfrac{A}{B}$

Demostración:

Demostración:

Partiremos de la ecuación general:

$Ax+By+C=0\;\!$

y despejaremos la variable $y\;$ para obtener la ecuación explícita:

$-By=Ax+C \ \rightarrow \ y=\cfrac{Ax+C}{-B} \ \rightarrow \ y=\cfrac{Ax}{-B}+\cfrac{C}{-B} \ \rightarrow \ y=-\cfrac{A}{B} \, x -\cfrac{C}{B}$

Como en la ecuación explícita, el coeficiente de la $x\;$ es la pendiente, se tiene:

$m=-\cfrac{A}{B}$