Plantilla:Racionalizacion

De Wikipedia

Se llama racionalización al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador

Tabla de contenidos

Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

ejercicio

Procedimiento

Para racionalizar una fracción con una raíz cuadrada en el denominador se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

ejercicio

Ejemplo: Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Racionalizar \frac{{6}}{\sqrt{2}}

Solución:

En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por \sqrt{2}

\frac{{6}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{{2}} = 3\sqrt{2}

video
Racionalización (caso I)
Ejemplo 1 (6'17")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{3}{\sqrt{15}}.

Ejemplo 2 (8'52")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{4}{\sqrt{32}}.

Ejemplo 3 (5'26")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.

Caso 2: Denominador con otras raíces

ejercicio

Procedimiento

Para racionalizar una fracción con una raíz de índice distinto de dos en el denominador, se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción por una raíz con el mismo índice, cuyo radicando tendrá como exponentes de sus factores:

  1. La diferencia entre el índice del radical y el exponente actual, caso de que el índice sea mayor o igual que el exponente actual.
  2. La diferencia entre el exponente actual y el múltiplo del indice más cercano a dicho exponente, caso de que el exponente actual supere al índice.

ejercicio

Ejemplo: Caso 2: Denominador con otras raíces

Racionalizar \frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}

Solución:

En este ejemplo, hay que multiplicar numerador y denominador por \sqrt[5] {a^2b}, ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz:

\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}} \cdot \frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}

video
Racionalización (caso II)
Ejemplo 1 (6'02")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{2}{\sqrt[4]{3}}.

Ejemplo 2 (7'12")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{1}{\sqrt[5]{8}}.

Ejemplo 3 (6'31")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{5}{2\,\sqrt[3]{7}}.

Ejemplo 4 (9'38")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{4}{\sqrt[5]{72}}.

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces cuadradas

Para este último caso, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador (solo se le cambia el segundo signo de la expresión)

ejercicio

Ejemplo: Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Racionalizar \frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}

Solución:

En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por {\sqrt{2}-\sqrt{3}} (este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados):

\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \, \cdot \, \frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} =

    

= \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}} = {-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}

video
Racionalización (caso III)
Ejemplo 1 (7'26")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}.

Ejemplo 2 (5'54")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}.

Ejemplo 3 (6'46")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{3}{3+\sqrt{5}}.

Ejemplo 4 (6'20")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{2}{\sqrt{7}-1}.

Ejemplo 5 (7'02")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{11}{2\sqrt{3}-1}.

Ejemplo 6 (6'43")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{4}{5\,\sqrt{2}+\sqrt{6}}.

Ejemplo 7 (7'43")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{12}{5\,\sqrt{6}-3\,\sqrt{10}}.

Ejemplo 8 (7'05")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.

Ejemplo 9 (9'20")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}.

Caso 4: Denominador con sumas y restas de raíces cúbicas (Ampliación)

Para este caso deberás conocer primero las siguientes identidades de la suma y diferencia de cubos:

Suma y diferencia de cubos (8'18")     Sinopsis:

Demostración y ejemplos de las identidades:

  • Suma de cubos: (a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)\;
  • Diferencia de cubos: (a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)\;

video
Racionalización (caso IV)
Ejemplo 1 (11'27")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{2}}.

Ejemplo 2 (11'13")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{2}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}}.

Ejemplo 3 (10'49")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{2}{\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}}.

Ejemplo 4 (9'56")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{22}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}.

Actividades

video
Racionalización
Ejercicios 1 (7'48")     Sinopsis:

Racionaliza:

a)\cfrac{6}{\sqrt{2}}\;        b) \cfrac{6}{\sqrt[5]{2^2}}\;        c) \cfrac{1}{\sqrt{2}-2}\;        d) \cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\;

Ejercicios 2 (8'53")     Sinopsis:

Racionaliza:

a)\cfrac{20}{\sqrt{5}}\;        b) \cfrac{16}{\sqrt[3]{2}}\;        c) \cfrac{22}{3\,\sqrt[5]{4}}\;

Ejercicio 3 (3'35")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{3ab}{\sqrt[4]{a^2b^3c}}\;

Ejercicio 4 (2'49")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\;

Ejercicio 5 (5'53")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{\sqrt[4]{a^3} \cdot a^{-1}}{a\,\sqrt{a}}\;

Ejercicio 6 (6'27")     Sinopsis:

Racionaliza: \cfrac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}\;

wolfram
Racionalización de denominadores
wolfram

Actividad: Racionalización de denominadores

Racionaliza \frac{{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}


Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
rationalize 5/(sqrt(3)-sqrt(5))


Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Racionalizacion"
Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda