Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)

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Tabla de contenidos

La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Su significado etimológico es la medición de los triángulos, ya que deriva de los términos griegos trigōnos 'triángulo' y metron 'medida'.

Introducción a la trigonometría (5'48")     Sinopsis:
  • Qué es a la trigonometría.
  • Triángulos: nomenclatura, propiedades y clasificación.

(Pág. 106)

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo agudo \alpha \,, de la siguiente manera:

  • El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

sen \, \alpha= \frac{c_o}{h} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}

  • El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) al ángulo y la hipotenusa:

cos \, \alpha= \frac{c_c}{h} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}

  • La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente:

tg \, \alpha= \frac{c_o}{c_c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}

Razones trigonométricas inversas

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:

  • La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón inversa del seno:

cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{h}{c_o}

  • La secante (abreviado como sec), razón inversa del coseno:

sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{h}{c_c}

  • La cotangente (abreviado como cot), razón inversa de la tangente:

cotg \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{c_c}{c_o}

video
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Tutorial 1 (7'59")     Sinopsis:

Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Ejemplos.

Tutorial 2 (37'54")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja los conceptos más básicos de la trigonometría plana, resolviendo ejercicios sencillos en los que se aplican dichas definiciones.

  • 00:00 a 13:05: Conceptos y definiciones básicas. Razones trigonométricas.
  • 13:05 a 17:13: Propiedades básicas trigonométricas.
  • 17:13 a 25:25: Ejercicios básicos (seno, coseno, tangente).
  • 25:25 a 29:05: Ejercicios básicos (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).
  • 29:05 a 37:54: Problemas de Trigonometría.
Tutorial 3 (14'07")     Sinopsis:

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Ejemplo.

Tutorial 4 (12'19")     Sinopsis:

Las definiciones de las razones trigonométricas solo dependen de valor del ángulo y no del tamaño del triángulo.

Tutorial 5 (11'54")     Sinopsis:

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Ejemplos 1a (9'32")     Sinopsis:

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Ejemplo.

Ejemplos 1b (13'14")     Sinopsis:

Más ejemplos de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo     Descripción:

En esta escena podrás ver como se calculan las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

video
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Actividad 1a     Descripción:

Aprende a ubicar la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente de un triángulo rectángulo.

Actividad 1b     Descripción:

Aprende a calcular las razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Autoevaluación     Descripción:

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Relaciones fundamentales de la trigonometría

ejercicio

Relaciones fundamentales de la trigonometría

1. sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1 (Identidad pitagórica)

2. tg \, \alpha =\cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}

3. 1+tg^2 \, \alpha =\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}

Demostración:

1. sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = \left ( \cfrac{c_o}{h} \right )^2 + \left ( \cfrac{c_c}{h} \right )^2 =\cfrac {c_o^2+c_c^2}{h^2}= \cfrac {h^2}{h^2}=1

ya que, por el teorema de Pitágoras, c_o^2+c_c^2=h^2\;.


2. \cfrac{sen \, \alpha }{cos \, \alpha}=\cfrac{c_o}{h}:\cfrac{c_c}{h}=\cfrac{c_o}{c_c}=tg \, \alpha


3. sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1 \ \rightarrow \ \cfrac{sen^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}+ \cfrac{cos^2 \, \alpha}{cos^2 \, \alpha}=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha} \ \rightarrow \ tg^2 \, \alpha+1=\cfrac{1}{cos^2 \, \alpha}

video
Identidades trigonométricas
Tutorial 1 (7´13")     Sinopsis:

Demostración de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

Tutorial 2 (7´08")     Sinopsis:

Demostración de la identidad pitagórica.

Ejercicio 1 (9´45")     Sinopsis:

Dada una de las razones trigonométricas de un ángulo, determinar las cinco restantes, haciendo uso de las relaciones fundamentales de la trigonometría.

a) sen \, \mu = \cfrac{1}{3} ;          b) cos \, \mu = \cfrac{1}{2} ;          c) tg \, \mu = 2
d) cotg \, \mu = 1 ;          e) sec \, \mu = 2 ;          f) cosec \, \mu = 3
Ejercicio 2 (3'41")     Sinopsis:

Simplifica: M=\sqrt{cotg^2 \theta + cos \, \theta \, \sqrt{1 + tg^2 \theta}}

Ejercicio 3 (7'45")     Sinopsis:

Comprueba las siguientes identidades trigonométricas:

a) tg \, \alpha + cotg \, \alpha = sec \, \alpha \cdot cosec \, \alpha

b) 2(1- cos^2 \alpha) + cos^2 \alpha = 1 + sen^2 \alpha\;

Ejercicio 4 (7'34")     Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

\cfrac{tg \, x - cotg \, x}{tg \, x + cotg \, x} = 2sen^2 x \, - 1
Ejercicio 5 (5'48")     Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

\cfrac{1+sen \, x}{1- sen \, x}-\cfrac{1-sen \, x}{1+ sen \, x} = 4 \cdot tg x \cdot sec \, x
Ejercicio 6 (6'22")     Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

\cfrac{1}{cos \, x}-\cfrac{cos \, x}{1+ sen \, x} = tg x
Ejercicio 7 (6'47")     Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

1 - 2 sen^2 x = \cfrac{1- tg^2 x}{1+ tg^2 x}
Ejercicio 8 (5'16")     Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

cos^4 x - sen^4 x +1 = 2 cos^2 x\;
Ejercicio 9 (8'39")     Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

\cfrac{sen^4 \alpha - cos^4 \alpha + 1}{1 + cotg^2 \alpha}\;
Ejercicios 10 (18'32")     Sinopsis:

Identidades trigonométricas. Ejercicios.

Ejercicios 11 (11'47")     Sinopsis:

Identidades trigonométricas. Ejercicios.

Ejercicios 12 (12'34")     Sinopsis:

Identidades trigonométricas. Ejercicios.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Sea \alpha\; un ángulo agudo.

  1. Sabiendo que cos \, \alpha = 0.86, calcular sen \, \alpha  y  tg \, \alpha.
  2. Sabiendo que tg \, \alpha = 2.83, calcular sen \, \alpha  y  cos \, \alpha.
Solución:

Hay que usar las relaciones fundamentales de la trigonometría para despejar la razón trigonométrica desconocida:

1. sen \, \alpha = 0.51 \, , \ tg \, \alpha=0.59

2. sen \, \alpha = 0.93 \, , \ cos \, \alpha=0.33

Razones trigonométricas de algunos ángulos importantes

ejercicio

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

Sea \alpha \; un ángulo y 90^\circ-\alpha \; su complementario.

Se cumple que:

  • sen \, (90^\circ-\alpha)=cos \, \alpha
  • cos \, (90^\circ-\alpha)= sen \, \alpha
  • tg \, (90^\circ-\alpha)=cot \, \alpha

video
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Tutorial 1 (7´45")     Sinopsis:

Relación entre el coseno, el seno y la tangente de ángulos complementarios.

Tutorial 2 (6´00")     Sinopsis:

Relación entre el coseno y el seno de ángulos complementarios.

Tutorial 3 (4´54")     Sinopsis:

Razones trigonométricas de ángulos complementarios:

  • Dos ángulos agudos se dicen complementarios si suman 90º.
  • El seno de un ángulo agudo coincide con el coseno de su complementario.
  • La tangente de un ángulo agudo coincide con la cotangente de su complementario.
  • La secante de un ángulo agudo coincide con la cosecante de su complementario.
Ejercicio (5´41")     Sinopsis:

Halla sen\,32^\circ sabiendo que cos\,58^\circ \approx 0.53.

Problema (6´17")     Sinopsis:

El rio Nilo se ha desbordado y ha inundado sus alrededores, a excepción de la punta de la pirámide de Guiza. Se ha enviado una expedición para averiguar la altura que alcanzó el agua. Los exploradores midieron el borde inclinado de la pirámide que quedó fuera del agua resultando ser de 72 m. Ellos saben además que la longitud total del borde es de 180 m y que la altura de la pirámide es de 139 m. ¿Cuál es la altura del agua sobre el nivel del suelo, redondeada a dos decimales?

Actividades     Descripción:

Razones trigonométricas de ángulos complementarios.

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