Vectores: Coordenadas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Base de vectores en el plano
- 1.1 Base ortogonal y ortonormal
2 Coordenadas de un vector respecto de una base
3 Operaciones con vectores dados por coordenadas
4 Ejercicios propuestos

(Pág. 174)

Base de vectores en el plano

Proposición

Dados dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones, cualquier vector del plano, $\vec{v}$ , se puede poner como combinación lineal de ellos:

$\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{x}$

Esta combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos números $a\,$ y $b\,$ para los que se cumple la igualdad anterior.

Estos resultados permiten dar la siguiente definición:

Se llama base de un conjunto de vectores del plano a dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones. La representaremos por $B(\vec{x},\vec{y})$ .

De esta manera, los resultados anteriores se pueden reenunciar de la siguiente manera:

Teorema de la base

Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores de una base, de forma única.

Base ortogonal y ortonormal

Si los dos vectores de una base del plano son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además ambos tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal

Coordenadas de un vector respecto de una base

Dada una base del plano $B(\vec{x},\vec{y})$ , por el teorema de la base, sabemos que cualquier vector $\vec{v}$ se puede poner como combinación lineal de los vectores de dicha base, de forma única: $\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{x}$

Al par de números $(a,b)\,$ los llamaremos las coordenadas del vector $\vec{v}$ respecto de la base $B(\vec{x},\vec{y})$ . Lo expresaremos $\vec{v}=(a,b)$ , o bien, $\vec{v}(a,b)$ .
Las coordenadas de los vectores de la base son $\vec{x}(1,0)$ e $\vec{y}(0,1)$ , ya que $\vec{x}=1 \vec{x}+0 \vec{y}$ y $\vec{y}=0 \vec{x}+1 \vec{y}$ .

Combinación lineal de vectores. Bases Descripción:

En esta escena podrás poner un vector como combinación lineal de los vectores de una base y obtener sus coordenadas respecto de ella.

Autoevaluación: Combinación lineal de vectores. Bases Descripción:

Ejercicio de autoevaluación en el que podrás poner un vector como combinación lineal de otros dos no alineados y que, por tanto, constituyen una base de vectores del plano. En consecuncia podrás averiguar sus coordenadas respecto de dicha base, que serán los números por los que hay que multiplicar los vectores de la base para obtener el vector dado.

2 ejercicios (13´40") Sinopsis:

Demostración de que dados dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones, cualquier vector del plano, $\vec{v}$ , se puede poner como combinación lineal de ellos.
Ejercicio: Si $\vec{u}=(2,1)$ , $\vec{v}(3,-4)$ y $\vec{z}=(1,6)$ , expresa $\vec{z}$ como combinación lineal de los otros dos vectores.

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Sean $\vec{u}=(x_1,y_1)$ y $\vec{v}=(x_2,y_2)$ dos vectores del plano:

Suma de vectores: $\vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
Producto por un número k: $k \vec{u}=(k \, x_1,k \, y_1)$
Combinación lineal: $a \vec{u}+b \vec{v}=(a \, x_1+ b \, x_2, a \, y_1+b \, y_2)$

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Actividad: Operaciones con vectores dados por coordenadas

Sean $\vec{u} =(-2,1)$ y $\vec{v} =(1,2)$ . Representa y halla las coordenadas de los siguientes vectores:

a) $4 \vec{u}$

b) $\vec{u}- \vec{v}$

c) $3 \vec{u} +2 \vec{v}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) vector 4(-2,1)

b) vector (-2,1)-(1,2)

c) vector 3(-2,1)+2(1,2)

(Pág. 175)

Ejercicios resueltos: Operaciones con vectores dados por coordenadas

1. Sean $\vec{u}=(2,3)$ y $\vec{v}=(5,-2)$ . Halla y comprueba gráficamente que:

a) $3 \, \vec{u} = (6,9)$

b) $\vec{u}+\vec{v} = (7,1)$

2. Sean $\vec{u}=(0,-1)$ , $\vec{v}=(-1,0)$ y $\vec{w}=(2,-3)$ . Calcula "a" y "b" para que $\vec{w}=a\, \vec{u} + b\, \vec{v}$ .

Solución:

1a) Utiliza la siguiente escena:

Producto de un vector por un número Descripción:

En esta escena podrás ver como se multiplica un vector por un número.

1b) Utiliza la siguiente escena:

Suma y resta de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se suman y restan vectores.

2) Soluciones: a = 3; b = -2

Compruébalo en la siguiente escena:

Combinación lineal de vectores. Bases Descripción:

En esta escena podrás poner un vector como combinación lineal de los vectores de una base y obtener sus coordenadas respecto de ella.

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Vectores en el plano (21´22") Sinopsis:

Sistema de coordenadas rectangulares. Ejemplos.
Vectores en el plano. Componentes. Ejemplos.
Suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar. Ejemplos.

Interpretación geométrica de las operaciones con vectores (16´45") Sinopsis:

Interpretación geométrica de la suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar. Ejemplos.

Base canónica (9´49") Sinopsis:

En la primera parte del video se explica lo que es la base canónica de los vectores del plano y en la segunda parte de los vectores del espacio tridimensional.

Suma de vectores. (24´12") Sinopsis: