Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Producto escalar de vectores
2 Propiedades del producto escalar
3 El producto escalar con bases ortonormales
4 Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})$

Propiedades del producto escalar

Propiedad fundamental del producto escalar

Propiedades (1)

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ó $\vec{v}=\vec{0}$ entonces $\vec{u} \cdot \vec{v}=0$ .

$\forall \, \vec{u} \, , \vec{v} \ne \vec{0}$ se cumple que $\vec{u} \bot \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v}=0$

Demostración:

La primera propiedad es inmediata.
Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, el producto escalar es cero si y solo si el coseno del ángulo que forman es cero, y esto ocurre si sólo si el ángulo es de 90º ó -90º.

Vectores ortogonales (7´44") Sinopsis:

Dos vectores son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es cero
Ejemplos.

Nota: A lo largo del video también se ven ejemplos con vectores tridimensionales.

Signo del producto escalar

Propiedades (2)

El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

$\vec{u} \cdot \vec{v}>0$ si $\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ es agudo.
$\vec{u} \cdot \vec{v}<0$ si $\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ es obtuso.

Demostración:

Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.

Signo del producto escalar de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula el producto escalar de vectores y cómo es su signo.

Propiedades del producto escalar

Propiedades (3)

Conmutativa: $\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}$

Asociativa mixta: $\lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}= \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v})\, , \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$

Distributiva: $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$

$\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$

Demostración:

Propiedad conmutativa:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})\begin{matrix} ~_{(1)}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} |\vec{v}| \, |\vec{u}| \, cos \, (v,u)=\vec{v} \cdot \vec{u}$

$(1): \, cos \, \alpha=cos \, (-\alpha) \rightarrow cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=cos \, (\widehat{\vec{v}, \, \vec{u}})$

Propiedad asociativa:

$\lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=\lambda \, |\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})$

$(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}=|\lambda \, \vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\lambda \, \vec{u}, \, \vec{v}}) \begin{matrix} ~_{(2)}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}|\lambda | \, |\vec{u}| \, |\vec{v}| \cdot \, signo(\lambda) \cdot cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=$

$=\lambda \, |\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})$

$(2): \, cos \, (\widehat{\lambda \, \vec{u}, \, \vec{v}})=signo(\lambda) \cdot cos \, (\widehat{ \vec{u}, \, \vec{v}})$ , ya que el ángulo es igual si $\lambda>0\,$ y suplementario si $\lambda<0\,$ .

(Recuerda que ángulos suplementarios tienen cosenos opuestos).

Así tenemos una de las igualdades: $\lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}$ . La otra igualdad se obtendría de forma similar.

Propiedad distributiva:

$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})=|\vec{u}| |\vec{v} + \vec{u}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}+\vec{w}})=|\vec{u}| \cdot proy_\vec{u}(\vec{v}+\vec{w})$

$\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}=|\vec{u}||\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})+|\vec{u}||\vec{w}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{w}})=$

$=|\vec{u}|[|\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})+|\vec{w}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{w}})]=$

$=|\vec{u}| \cdot [proy_\vec{u} \vec{v}+proy_\vec{u} \vec{w}]=|\vec{u}| \cdot [proy_\vec{u} (\vec{v}+ \vec{w})]$

Obteniendo la igualdad buscada.

La última propiedad es fácil:

$\vec{v} \cdot \vec{v}=|\vec{v}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{v}, \, \vec{v}})=|\vec{v}|^2 \, cos \, 0^o=|\vec{v}|^2 \cdot 1=|\vec{v}|^2$

Proyección de vectores y producto escalar

Llamaremos proyección del vector $\vec{v}$ sobre el vector $\vec{u}$ , al número

$proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=|v| \, \cos \, \alpha \qquad$

siendo $\alpha= \widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ el ángulo que forman los dos vectores.

Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea $cos \, \alpha$ .

Gráficamente es como la sombra (ver segmento rojo en figura adjunta) que determina $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ , si pusieramos una luz encima de ellos. La línea discontinua es perpendicular al vector $\vec{u}$

Nota: Aquí la proyección se define como un escalar (la medida del segmento rojo de la figura de la derecha). Otras veces, la proyección se define como el vector que determina la sombra tomando como origen, el origen común de los dos vectores, y como extremo, el de la intersección con la línea discontinua perpendicular al vector $\vec{u}$ (ver figura adjunta). En tal caso, para obtener el vector proyección, deberíamos multiplicar el valor de la proyección (escalar) por el vector $\vec{u}$ hecho unitario:

$\vec{proy}_{\vec{u}}\, \vec{v}=proy_{\vec{u}}\, \vec{v} \cdot \cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$

Proposición (4)

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

$\vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, |\vec{v}| \, proy_{\vec{v}}\, \vec{u} \, = \, |\vec{u}| \, proy_{\vec{u}}\, \vec{v}$

En consecuencia:

$proy_{\vec{v}}\, \vec{u}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \qquad proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|}$

Demostración:

Si observamos el dibujo de la derecha, tenemos que

$proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=|\vec{v}|cos \, \alpha$

Entonces

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| cos \, \alpha=|\vec{u}| \, proy_{\vec{u}}\, \vec{v}$

De la misma manera se obtiene la otra relación:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, proy_{\vec{v}}\, \vec{u}$

Corolario (5): Proyecciones coincidentes

Si las proyecciones sobre $\vec{v}$ de $\vec{u_1}$ y de $\vec{u_2}$ coinciden, entonces:

$\vec{u_1} \cdot \vec{v}= \vec{u_2} \cdot \vec{v}$

Demostración:

$\vec{u_1} \cdot \vec{v}=|\vec{v}| \, proy_{\vec{v}} \, (\vec{u_1})=|\vec{v}| \, proy_{\vec{v}}\, (\vec{u_2})=\vec{u_2} \cdot \vec{v}$

Proyecciones de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa y calcula la proyección de un vector sobre otro.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Producto escalar

(Pág. 176)

1; 2; 3a,c,e; 4

3b,d,f; 5

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

Proposición (6)

Sea $B(\vec{x},\vec{y})$ una base ortonormal, entonces

$\vec{x} \cdot \vec{x}=1 \qquad \vec{y} \cdot \vec{y}=1 \qquad \vec{x} \cdot \vec{y}=0$

Demostración:

En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:

$\vec{x} \cdot \vec{x}=|\vec{x}| \, |\vec{x}| \, cos \, (\widehat{\vec{x}, \, \vec{x}})=1 \cdot 1 \cdot 1=1$

$\vec{y} \cdot \vec{y}=|\vec{y}| \, |\vec{y}| \, cos \, (\widehat{\vec{y}, \, \vec{y}})=1 \cdot 1 \cdot 1=1$

$\vec{x} \cdot \vec{y}=|\vec{x}| \, |\vec{y}| \, cos \, (\widehat{\vec{x}, \, \vec{y}})=1 \cdot 1 \cdot 0=0$

Proposición (7)

Si las coordenadas de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , respecto de una base otonormal $B(\vec{x},\vec{y})$ son $\vec{u}(x_1,y_1)$ y $\vec{v}(x_2,y_2)$ , entonces:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2$

Demostración:

En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=(x_1 \vec{x}+y_1 \vec{y}) \cdot (x_2 \vec{x}+y_2 \vec{y})=$

$=(x_1 \, x_2)(\vec{x} \cdot \vec{x})+(x_1 \, y_2)(\vec{x} \cdot \vec{y})+(y_1 \, x_2)(\vec{y} \cdot \vec{x})+(y_1 \, y_2)(\vec{y} \cdot \vec{y})=$

$=(x_1 \, x_2) \cdot 1+(x_1 \, y_2) \cdot 0+(y_1 \, x_2) \cdot 0+(y_1 \, y_2) \cdot 1=$

$=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2$

Ejemplo:

Dados los vectores $\vec{u}(2,-1)$ y $\vec{v}(3,2)$ , respecto de una base otonormal, vamos a calcular $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v}=(2,-1) \cdot (3,2)=2 \cdot 3 + (-1) \cdot 2=6-2=4$

Producto escalar de vectores (7´23") Sinopsis:

Cálculo del producto escalar de vectores del plano.
Ejemplos.

Nota: A lo largo del video también se trata el caso de vectores tridimensionales.

Producto escalar de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa el producto escalar de dos vectores.

Producto escalar de vectores

Actividad: Producto escalar de vectores

a) Sean $\vec{u} =(3,5)$ y $\vec{v} =(3,4)$ . Halla el producto escalar $\vec{u}\cdot \vec{v}$

b) Averigua el valor de $x\;$ para que los vectores $\vec{u} =(x,5)$ y $\vec{v} =(2,3)$ sean ortogonales.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) (3,5)·(3,4)

b) solve (x,5)·(2,3)=0

Vector ortogonal a otro

Proposición (8)

Los vectores de coordenadas $\vec{u}(a,b)$ y $\vec{v}(-b,a)$ , respecto de una base ortonormal, son ortogonales.

Demostración:

Por la propiedad fundamental, sabemos que:

$\vec{u} \bot \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v}=0$

Por otro lado, como las base es ortonormal, la expresión analítica del producto escalar es

$\vec{u} \cdot \vec{v}=a \cdot (-b) + b \cdot a=0$

De manera que el producto escalar vale cero y, por tanto, los vectores son ortogonales.

Ejemplo:

Halla 3 vectores ortogonales a (2,3).

Solución: Por la proposición anterior: (-3,2).

Cualquier múltiplo de (-3,2) también será ortogonal: (3,-2) y (-6,4)

Ejemplo:

Calcula el valor de $x\,$ para que el vector $\vec{u}(x,1)$ sea ortogonal a $\vec{v}(-2,5)$ , respecto de una base ortonormal.

Solución:

Al venir dadas las coordenadas respecto de una base ortonormal, para que los vectores dados sean ortogonales, su producto escalar debe ser cero:

$(x,1) \cdot (-2,5)=0 \quad \rightarrow \quad -2x+5=0 \quad \rightarrow \quad x=\cfrac{5}{2}$

Producto escalar de vectores ortogonales Descripción:

En esta escena podrás ver como es el producto escalar de vectores ortogonales.

Módulo de un vector en una base ortonormal

Proposición (9)

El módulo de un vector $\vec{v}(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, es

$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Demostración:

Si $\vec{v}=(v_1,v_2)$ respecto de una base otonormal, entonces, por la proposición (7):

$\vec{v} \cdot \vec{v}=v_1 \, v_1 + v_2 \, v_2=v_1^2+v_2^2$

Por otro lado sabemos, por la cuarta propiedad de (3), que:

$\vec{v} \cdot \vec{v}=|\vec{v}|^2$

Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos.

Ejemplo:

Dado el vector $\vec{u}(2,-1)$ , respecto de una base otonormal, vamos a calcular $|\vec{u}|$ :

$|\vec{u}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$

Módulo de un vector del plano

Módulo de un vector (6´18") Sinopsis:

Módulo de un vector.
Ejemplos.

Nota: En la segunda parte del video se trata el caso de vectores tridimensionales.

Vectores unitarios (9´45") Sinopsis:

Vector unitario.
Ejemplos de como calcularlos.

Nota: En la segunda parte del video se trata el caso de vectores tridimensionales.

Módulo de un vector (14´13") Sinopsis:

Módulo de un vector.
Ejemplos.
Vectores unitarios.

Ejercicio 1 (6´25") Sinopsis:

Dados los vectores $\vec{u}=(5,-12)$ y $\vec{v}=(-3,-6)$ , calcula:

a) $|\vec{u}|$

b) $|\vec{v}|$

c) $|\vec{u}-\vec{v}|$

Ejercicio 2 (4´02") Sinopsis:

Encontrar un vector unitario en la dirección del vector $3\vec{i}+7\vec{j}$ .

Nota: $B=\{\vec{i},\vec{j}\}$ es la base canónica de los vectores del plano.

Módulo de un vector

Actividad: Módulo de un vector

Halla el módulo del vector $\vec{u} =(3,5)$ .

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

lenght vector (3,5)

Ángulo de dos vectores en una base ortonormal

Proposición (9)

Dados dos vectores, $\vec{u}(u_1,u_2)$ y $\vec{v}(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, se cumple que

$cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=\cfrac{u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2} \, \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$

Demostración:

Si $\vec{u}=(u_1,u_2)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, entonces:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2 \qquad |\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} \qquad |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Por otro lado:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}) \quad \rightarrow \quad cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \, |\vec{v}|}$

Sustituyendo en esta última expresión las anteriores, tenemos lo que buscamos.

Ejemplo:

Dados los vectores $\vec{u}(2,-1)$ y $\vec{v}(3,2)$ , respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman:

$cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \, |\vec{v}|}=\cfrac{4}{\sqrt{5} \, \sqrt{13}}=0.4961 \quad \rightarrow \quad \widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}=60^\circ 15' 20''$

Ejercicio (5´35") Sinopsis:

Halla el ángulo que forman los vectores $\vec{A}=(4,3)$ y $\vec{B}=(5,-2)$

Ángulo entre vectores

Actividad: Ángulo entre vectores

Halla el ángulo que forman los vectores $\vec{u} =(3,5)$ y $\vec{v} =(2,1)$ .

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

angle between vectors (3,5), (2,1)

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Producto escalar con bases ortonormales

(Pág. 178)

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

En estos videotutoriales se va partir de la proposición (7) como definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

Producto escalar de vectores (8´12") Sinopsis:

El "producto escalar" de los vectores u = (u1;u2) y v = (v1;v2) es el número real u1.v1 + u2.v2. Se denota u·v.
Dos vectores se dicen "ortogonales" si su producto escalar es 0.
Dos vectores se dicen "ortonormales" si son ortogonales y tienen módulo 1.
Al final del vídeo está la letanía que debes recitar a modo de mantra cuando aterrices en la Universidad.

4 ejercicios (6´07") Sinopsis:

En este video jugamos con la suma de vectores y con el producto escalar de vectores.

Propiedades del producto escalar (5'56") Sinopsis:

VEl producto escalar goza de las propiedades conmutativa, asociativa mixta y distributiva respecto de la suma. El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado del módulo del vector. No es admisible que las propiedades del producto escalar de vectores te dejen con el culo al aire.

6 ejercicios (10´31") Sinopsis:

6 ejercicios sobre las propiedades del producto escalar.

Angulo entre dos vectores (9´28") Sinopsis:

El coseno del ángulo que forman dos vectores es el cociente entre el producto escalar de los vectores y el producto de los módulos de los vectores.

3 ejercicios (9´05") Sinopsis:

3 ejercicios sobre ángulo entre dos vectores.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Vectores:_Producto_escalar_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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Tabla de contenidos

Producto escalar de vectores

Propiedades del producto escalar

Propiedad fundamental del producto escalar

Signo del producto escalar

Propiedades del producto escalar

Proyección de vectores y producto escalar

Ejercicios propuestos

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

Vector ortogonal a otro

Módulo de un vector en una base ortonormal

Ángulo de dos vectores en una base ortonormal

Ejercicios propuestos

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

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