Plantilla:Ecuación de segundo grado: definición y resolución

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Revisión de fecha 11:46 6 jun 2017; Ver revisión actual
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Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita, $x\;\!$ , es aquella que tiene la siguiente expresión, que llamaremos forma general.

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

El siguiente videotutorial condensa casi todo lo que se va a tratar en este tema:

La ecuación de segundo grado (16´21") Sinopsis:

Definición de ecuación de segundo grado.
Fórmula para su resolución con su demostración.
Definición de discriminante de una ec. de segundo grado y su relación con el número de soluciones de ésta y con ejemplos de cada caso.
Factorización del polinomio de segundo grado a partir de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado.
Propiedades del producto y la suma de las raíces de la ecuación con su demostración.
Ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ecuación de segundo grado completa

Fórmula general

Las soluciones de la ecuación de segundo grado

$ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0$

son:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

donde el signo $(\pm)$ significa que una solución se obtiene con el signo $(+)\;\!$ y otra con el signo $(-)\;\!$ .

Demostración:

A continuación tienes la demostración en videtutorial y por escrito:

Demostración (10'05") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra la fórmula que se utiliza para resolver las ecuaciones de 2º grado completas.

Demostración:

1. Se divide la ecuación por $a\;\!$ :

$x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

2. Se multiplica y divide por $2\;\!$ el coeficiente de la $x\;\!$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0$

3. Se suma a los dos miembros de la igualdad $\cfrac{b^2}{4a^2}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}$

4. Se pasa restando a la derecha $\cfrac{c}{a}$ :

$x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de $\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2$ :

$\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}$

6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:

$x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

7. Se despeja x:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}$

8. Se simplifica la expresión:

$x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado resueltas

En la escena, pulsa "Inicio" para ver otros ejemplos.

La fórmula de la ecuación de segundo grado (7'37") Sinopsis:

Cómo utilizar la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado, $ax^2+bx+c=0 \;$ , al número:

$\triangle = b^2-4ac$

Proposición

Sea $\triangle$ el discriminante de una ecuación de segundo grado:

Si $\triangle <0$ , la ecuación no tiene solución.
Si $\triangle >0$ , la ecuación tiene dos soluciones.
Si $\triangle =0$ , la ecuación tiene una solución (doble).

Demostración:

La demostración es inmediata teniendo en cuenta la fórmula para la resolución de la ecuación de segundo grado:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

ya que, lo que hay en el radicando, es precisamente el discriminante. Por tanto,

Si su signo es positivo, la raíz existe y da lugar a dos soluciones distintas.
Si su signo es negativo, la raíz no existe y no hay ninguna solución.
Si es cero, la raíz vale cero, y hay dos soluciones iguales (solución doble).

Discriminante y número de soluciones

Tutorial (5'42") Sinopsis:

Número de soluciones de una ecuación de 2º grado. Discriminante.

Ejercicio 1 (3'04") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $x^2+4x-5=0\;$ .

Ejercicio 2 (3'17") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $36x^2-60x+25=0\;$ .

Ejercicio 3 (3'29") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $\cfrac{9}{4}x^2-4x+\cfrac{10}{3}=0\;$ .

Ejercicio 4 (3'42") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $8x^2-3x=0\;$ .

Ejercicio 5 (3'34") Sinopsis:

Halla el discriminante para determinar el número de raíces de la ecuación $x^2+9=0\;$ .

Ejercicio 6 (6'58") Sinopsis:

Determinar el número de soluciones de la ecuación $x^2+14x+49=0\;$ .

Discriminate y número de soluciones

Actividad 1 Descripción:

Actividades en la que aprenderás a calcular el discriminante de una ecuación de segundo grado y su utilidad para determinar el número de soluciones de la misma.

Actividad 2 Descripción:

Calcula el número de soluciones de una ecuación de segundo grado:

Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
Copia la ecuación en tu cuaderno y calcula su discriminante.
Teniendo en cuenta el valor del discriminante, determina cuántas soluciones tiene.
Escribe el número de soluciones en el cuadro "Número de soluciones" y pulsa el botón "Solución".

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las soluciones de las ecuaciones de segundo grado.

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Tutorial 1 (8'37") Sinopsis:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas. Ejemplos.

Tutorial 2 (14'06") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica la resolución de ecuaciones de 2º grado aplicando la fórmula general de resolución.

Tutorial 3 (11'36") Sinopsis:

A veces es posible resolver la ecuación de segundo grado por el llamado método de factorización. Cuando no se pueda por este método recurriremos a la fórmula general. En este video puedes ver un ejemplo de cada método.

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado Descripción:

Pulsa el botón "Ejercicio" para obtener una ecuación.
Copia la ecuación en tu cuaderno y halla sus soluciones.
Escribe el "tipo de solución" y las soluciones en los cuadros correspondientes. Luego pulsa el botón "Solución".