Límite de una función (2ºBach)

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Límite de de una función en un punto

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

De manera informal, diremos que una función $f ~$ tiene límite $L~$ en $c~$ , o que $f ~$ tiende a $L ~$ cuando x se acerca a $c ~$ si se puede hacer que $f(x)~$ esté tan cerca como queramos de $L ~$ haciendo que $x~$ esté suficientemente cerca de $c~$ , siendo $x~$ distinto de $c~$ .

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función $f(x)\;$ , cuando $x~$ tiende a $c~$ , es $L ~$ , si y sólo si, para todo $\varepsilon > 0 \;$ , existe un $\delta > 0 \;$ , tal que para todo número real $x~$ en el dominio de la función, si $0 < |x-c| < \delta \;$ entonces $|f(x)-L| < \varepsilon \;$ .

Esto, escrito en notación formal:

$\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L$ $\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

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Categorías: Matemáticas | Funciones