Límite de una función (2ºBach)

De Wikipedia

Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

De manera informal, diremos que una función f ~ tiene límite L~ en c~ , o que f ~ tiende a L ~ cuando xx~ se acerca a c ~ si se puede hacer que f(x)~ esté tan cerca como queramos de L ~ haciendo que x~ esté suficientemente cerca de c~, siendo x~ distinto de c~.

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
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Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x)\;, cuando x~ tiende a c~, es L ~, si y sólo si, para todo \varepsilon > 0 \;, existe un \delta > 0 \;, tal que para todo número real x~ en el dominio de la función, si 0 < |x-c| < \delta \; entonces |f(x)-L| < \varepsilon \;.

Esto, escrito en notación formal:

\lim_{x\to c}  \, \,f(x) = L\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

ejercicio

Límite de una función en un punto


Demostrar que \lim_{x\to 2}(3x-5)=1 usando la definición formal de límite.

Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
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Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
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