Límite de una función (2ºBach)

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Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.

De manera informal, diremos que una función $f ~$ tiene límite $L~$ en $c~$ , o que $f ~$ tiende a $L ~$ cuando x $x~$ se acerca a $c ~$ si se puede hacer que $f(x)~$ esté tan cerca como queramos de $L ~$ haciendo que $x~$ esté suficientemente cerca de $c~$ , siendo $x~$ distinto de $c~$ .

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función $f(x)\;$ , cuando $x~$ tiende a $c~$ , es $L ~$ , si y sólo si, para todo $\varepsilon > 0 \;$ , existe un $\delta > 0 \;$ , tal que para todo número real $x~$ en el dominio de la función, si $0 < |x-c| < \delta \;$ entonces $|f(x)-L| < \varepsilon \;$ .

Esto, escrito en notación formal:

$\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L$ $\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}(f), \,\,0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

Límite de una función en un punto

Demostrar que $\lim_{x\to 2}(3x-5)=1$ usando la definición formal de límite.

Solución:

Utilicemos entonces la definición, debemos demostrar que para cualquier $\varepsilon$ dado podemos hallar un $δ$ para el cual se cumple

{{{fórmula}}}

{{{ref}}}

Tomando $\textstyle\delta = \frac{1}{3}\varepsilon$ es posible probar esto. Es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier $\varepsilon$ dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.

Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis $\textstyle 0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon$ .

Veamos que $| (3 x - 5) - 1 | = | 3 x - 6 | = 3 | x - 2 |$ , luego por hipótesis $\textstyle 3|x-2|<3\frac{1}{3}\varepsilon=\varepsilon$ y queda demostrado Plantilla:Eqnref.

Nótese que bien podríamos haber elegido $\delta=\frac{1}{6}\varepsilon$ o $\delta=\frac{1}{15}\varepsilon$ , por ejemplo. En tanto $\delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon$ , siempre podremos demostrar Plantilla:Eqnref.