Límite de una función (2ºBach)
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Límite de de una función en un punto
El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tener bien claro este concepto.
Definición informal de límite
De manera informal, diremos que una función 
tiene límite 
en 
, o que tiende a cuando 
se acerca a , si se puede hacer que 
esté tan cerca como queramos de , haciendo que esté suficientemente cerca de , pero sin llegar a .
Definición formal de límite
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función 
, cuando tiende a , es , si y sólo si, para todo 
, existe un 
, tal que para todo número real del dominio de la función, si 
, entonces 
.
Esto, escrito en notación formal:
 |  |
Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.
Límite de una función en un punto
Demostrar que 
usando la definición formal de límite.
Utilizando la definición, debemos demostrar que para cualquier 
dado podemos hallar un 
para el cual se cumpla:
[1]Tomando 
será posible probar esto. Esto es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier 
dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.
Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis 
.
Dado que
y que , por hipótesis,
queda demostrado [1].
Nótese que bien podríamos haber elegido
o 
, por ejemplo. En tanto 
, siempre podremos demostrar [1].Función sin límite
definida como:
en el dominio para el cual exista el 
Para demostrar la anterior afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.
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.
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