Límite de una función (2ºBach)

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Límite de de una función en un punto

El concepto de límite es la base para poder abordar el concepto de continuidad y , más adelante, el de derivabilidad de una función. Es pués, de vital interés, tenerlo bien claro.

Definición informal de límite

De manera informal, diremos que una función f ~ tiene límite L~ en c~ , o que f ~ tiende a L ~ cuando x~ se acerca a c ~, si se puede hacer que f(x)~ esté tan cerca como queramos de L ~, haciendo que x~ esté suficientemente cerca de c~, pero sin llegar a c~.

Definición formal de límite

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos.

Sea f\; una función con dominio Dom_f\; y sea c \; un punto de acumulación de Dom_f\;. Diremos que el límite de una función f(x)\;, cuando x~ tiende a c~, es L ~, si y sólo si, para todo \varepsilon > 0 \;, existe un \delta > 0 \;, tal que para todo número real x~ del dominio de la función, si 0 < |x-c| < \delta \;, entonces |f(x)-L| < \varepsilon \;.

Es decir,

\lim_{x\to c} \, \,f(x) = L\iff \forall \varepsilon > 0 ,\,\,\, \exists \delta > 0 \, \ | \ \, \forall x \in \operatorname{Dom}_f, \,\,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon

Nota: Para entender bien este concepto, recuérdese la definición de distancia entre dos puntos de la recta real, según la cual, d(x,c)=|x-c| \;.

Esta es una formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación del dominio de la función y se debe al matemático francés Luis Cauchy.

Decir que c~ es un punto de acumulación del dominio de la función equivale a decir que cualquier intevalo abierto de centro c~ contiene a puntos del dominio de la función distintos de c~, o dicho informalmente, que nos podemos acercar a c~ tanto como queramos mediante puntos del dominio distintos de c~.

Exigir que c~ sea punto de acumulación del dominio es necesario para que la definición tenga sentido. En caso contrario, no podríamos hablar de valores de x~ "suficientemente cerca" de c~ cuyas imágenes están tan "cerca" de L~ como se desee.


Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
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Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
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Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
ejercicio

Límite de una función en un punto

Demostrar que \lim_{x\to 2}(3x-5)=1 usando la definición formal de límite.

Funciones sin límite en un punto

ejercicio

Función sin límite

La función de Dirichlet, D:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida como:

D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{Q} \\ d & \mathrm{si \ } x \in \mathbb{I} \\ \end{cases}

tiene la peculiaridad de que, para cualquier valor a\; de su dominio, el \lim_{x \to a}f(x) no existe.

Límites laterales

Límites infinitos

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