Medida de ángulos: el radián (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 El radián
2 Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales
- 2.1 Calculadora
3 Ejercicios propuestos

El radián

El radián (simbolizado rad) se define como el ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la del radio de la propia circunferencia.

En la figura adjunta el ángulo $\phi \,$ mide un radián porque abarca un arco que mide igual que el radio de la circunferencia.

El radian se usa también en Física. Por ejemplo, la velocidad angular se suele medir en radianes por segundo (rad/s).

Utilidad del radián:

La utilidad de la medida en radianes frente a otras medidas de ángulos, es que ayuda a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

Por ejemplo, la fórmula para hallar la longitud de un arco de circunferencia de radio r correspondiente a un ángulo $θ$ (en grados sexagesimales), viene dada por la fórmula:

$l=\cfrac{2\pi \cdot r \cdot \theta}{360}$

Ahora, si $θ$ viene dado en radianes, la fórmula es:

$l=\cfrac{2\pi \cdot r \cdot \theta}{2\pi}=r \cdot \theta$

Si además trabajamos con el círculo unidad (r = 1):

$l= \theta\;$

Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales

Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales

$\pi \, rad = 180^\circ$

En consecuencia:

$1 \, rad=\cfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 17' 45 '' \qquad \qquad1^\circ = \cfrac {\pi \, rad} {180} \approx 0.0175 \, rad$

Demostración:

Como la longitud de una circunferencia de radio $R \,$ es $2 \pi R \,$ , tenemos que una circunferencia contiene $2 \pi \,$ veces a la radio. Por tanto, 360º equivalen a $2 \pi \,$ rad y , dividiendo por 2, 180º equivalen a $\pi \,$ rad.

Utilizando la equivalencia anterior, y mediante una regla de tres, podemos obtener las siguientes equivalencias:

Grados	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianes	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π

Sistema radial o circular

Tutorial (9'02") Sinopsis:

Equivalencia entre grados sexagesimales y radianes.

Tutorial 2a (6´42") Sinopsis:

El sistema radial o circular. Equivalencias con el sistema sexagesimal.

Tutorial 2b (9´15") Sinopsis:

Ejemplos:

Expresa el ángulo 32,56º (32 grados y 56 centésimas de grado) en grados, minutos y segundos.
Expresa el ángulo 46º15'36" en grados sexagesimales.
Expresa el ángulo 2,6 rad. en grados, minutos y segundos.
Expresa en radianes el ángulo 72º.