Potencia de un punto respecto de una circunferencia (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Potencia de un punto respecto de una circunferencia
2 Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia
3 Eje radical de dos circunferencias
- 3.1 Construcción geométrica del eje radical
4 Centro radical de tres circunferencias
5 Ejercicios propuestos

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Se llama potencia del punto $P(p_1,p_2)\,$ respecto de la circunferencia $C\,$ de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ al número

$\mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2=(p_1 -a)^2+(p_2-b)^2-r^2$

Proposición

Dada la circunferencia de centro $O(a,b)\;$ y radio $r\;$ , cuya ecuación sabemos que viene dada por:

$(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0\,$

La potencia de un punto $P(p_1,p_2)\;$ respecto de esta circunferencia, coincide con el valor numérico que resulta de sustituir las coordenadas del punto en la expresión del lado izquierdo de esa ecuación.

Demostración:

Es inmediato a partir de la definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia.

La potencia de P respecto de C es d² - r²

Ejemplo: Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Calcula la potencia del punto P(6,4) respecto de la circunferencia de centro O(0,0) y radio r=3.

Solución:

La ecuación de la circunferencia es:

$(x-0)^2+(y-0)^2-3^2=0\,$

que simplificada queda:

$x^2+y^2-9=0\,$

Sustituyendo las coordenadas de P(6,4) en el lado izquierdo de la ecuación, tenemos:

$\mathcal{P}_C(P)=6^2+4^2-9=43\,$

Comprueba el resultado en la siguiente escena:

Potencia de un punto respecto de una circunferencia Descripción:

En esta escena podrás ver como se calcula la potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Proposición

Sea $P(p_1,p_2)\,$ un punto del plano y una circunferencia $C\,$ . Sean $r_1\,$ úna recta que corta a C en dos puntos: $A\,$ y $A'\,$ y sea $r_2\,$ otra recta que corta a $C\,$ en otros dos puntos: $B\,$ y $B'\,$ . Entonces se cumple que:

$\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=\overline{PB} \cdot \overline{PB'}=| \mathcal{P}_C(P) |$

Demostración:

En la siguiente figura se puede observar que los triángulos $PA'B\,$ y $PB'A\,$ son semejantes porque tienen un ángulo común, el ángulo en $P\,$ , y dos ángulos iguales, los ángulos en $A'\,$ y en $B'\,$ , por ser ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan el mismo arco $\widehat{AB}$ .

Por tanto, sus lados son proporcionales:

$\cfrac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=\cfrac{\overline{PB'}}{\overline{PA'}}$

De donde, multiplicando en cruz:

$\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=\overline{PB} \cdot \overline{PB'}$

Para el caso en que l punto P pertenezca a la circunferencia:

$\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=0=\overline{PB} \cdot \overline{PB'}$

Veamos ahora que también es igual a $|\mathcal{P}_C(P)|$ . Para ello vamos a considerar el siguiente gráfico, en el cual hemos tomado una recta r que pase por el centro de C y que la corta en dos puntos A y A', diametralmente opuestos:

Se tiene que:

Si P es exterior: $\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=(d-r) \cdot (d+r)=d^2-r^2=\mathcal{P}_C(P)=|\mathcal{P}_C(P)|$ porque la potencia de un punto exterior es positiva.
Si P es interior: $\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=(r-d) \cdot (r-d)=r^2-d^2=- \mathcal{P}_C(P)=|\mathcal{P}_C(P)|$ porque la potencia de un punto interior es negativa.
Si P pertenece a la circunferencia: $\overline{PA} \cdot \overline{PA'}=0 \cdot 2r=0=|\mathcal{P}_C(P)|$ porque la potencia de un punto de la circunferencia es cero.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Distintos enfoques. Descripción:

En esta escena podrás ver como se comprueba la proposición anterior.

Potencia de un punto respecto a una circunferencia (12'18") Sinopsis:

Videotutorial.

Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia

Dada una circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , un punto $P\,$ ,del plano puede ser:

Exterior a la circunferencia: si $d(P,O)>r\,$
Perteneciente a la circunferencia: si $d(P,O)=r\,$
Interior a la circunferencia: si $d(P,O)<r\,$

A es exterior, B pertenece y C es interior a la circunferencia

Proposición

Dada una circunferencia $C\,$ y un punto $P\,$ del plano:

Si el punto es exterior a la circunferencia: $\mathcal{P}_C(P)>0$
Si el punto pertenece a la circunferencia: $\mathcal{P}_C(P)=0$
Si el punto es interior a la circunferencia: $\mathcal{P}_C(P)<0$

Demostración:

En efecto,

Si P es exterior a C $\rightarrow d(P,O)>r \rightarrow \mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2>0$
Si P pertenece a C $\rightarrow d(P,O)=r \rightarrow \mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2=0$
Si P es interior a C $\rightarrow d(P,O)<r \rightarrow \mathcal{P}_C(P)=d(P,O)^2-r^2<0$

Ejemplo: Posición relativa de un punto respecto a una circunferencia

Halla la posición relativa del punto $P(7,-4)\,$ respecto a la circunferencia $C: x^2+y^2-8x+3y+12=0\,$ .

Solución:

Calculemos la potencia de $P(7,-4)\,$ respecto a la circunferencia $C: x^2+y^2-8x+3y+12=0\,$ :

$\mathcal{P}_C(P)=7^2+(-4)^2-8 \cdot 7+3 \cdot (-4)+12=49+16-56-12+12=9>0 \rightarrow$ P es exterior a C.

Posición relativa de un punto y una circunferencia Descripción:

En esta escena podrás ver como es la posición relativa de un punto y una circunferencia y qué relación tiene con la potencia del punto respecto de la circunferencia.

Eje radical de dos circunferencias

Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas circunferencias.

Ejemplo: Eje radical de dos circunferencias

Halla el eje radical de las circunferencias:

$C_1: x^2+y^2-6x+4y-11=0\,$

$C_2: x^2+y^2+8x-2y-1=0\,$ .

Solución:

Igualando la potencia de un punto genérico $P(x,y)\,$ respecto de cada circunferencia, tenemos:

$x^2+y^2-6x+4y-11=x^2+y^2+8x-2y-1\,$

Simplificando las potencias al cuadrado y reagrupando términos:

$-6x+4y-11=+8x-2y-1\,$

$-14x+6y-10=0\,$

Que es la ecuación de una recta, el eje radical de las dos circunferencias.

Proposición

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es una recta perpendicular a la recta determinada por los dos centros de las circunferencias.

Demostración:

Dadas las circunferencias de ecuaciones:

$C: \; x^2+y^2+Ax+By+C=0$

$C': \; x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0$ ,

con $A \ne A'$ y/o $B \ne B'$ , para que no sean concéntricas.

Su eje radical se obtiene igualando los miembros de la izquierda de cada ecuación:

$x^2+y^2+Ax+By+C=x^2+y^2+A'x+B'y+C'\,$

Simplificando los términos al cuadrado y pasando todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, tenemos:

$(A-A')x+(B-B')y+(C-C')=0\,$

que es la ecuación implícita de una recta con vector normal $\overrightarrow{n}(A-A',B-B')\,$ .

La recta que une los $E s c r i b e a q u u n a f r m u l a$ c $E s c r i b e a q u u n a f r m u l a$ entros $O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})$ y $O'(-\cfrac{A'}{2},-\cfrac{B'}{2})$ de las circunferencias, tiene vector director

$\overrightarrow{OO'}=(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})-(-\cfrac{A'}{2},-\cfrac{B'}{2})=(\cfrac{A'-A}{2},\cfrac{B'-B}{2})$

que es paralelo al vector normal del eje radical $\overrightarrow{n}\,$ .

Por tanto, el vector $\overrightarrow{OO'}$ es perpendicular al eje radical.

Dadas dos circunferencias concéntricas, como $O=O' \rightarrow A=A' \, ; \, B=B'$ , entonces sus ecuaciones serán:

$C: \; x^2+y^2+Ax+By+C=0$

$C': \; x^2+y^2+Ax+By+C'=0 \qquad (C \ne C')$ ,

su eje radical se obtiene igualando los miembros de la izquierda de cada ecuación:

$x^2+y^2+Ax+By+C=x^2+y^2+Ax+By+C'\,$

Simplificando los términos al cuadrado y pasando todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, tenemos:

$C-C'=0\,$

que es absurdo, puesto que $C \ne C'$ , y por tanto no tiene solución.

Construcción geométrica del eje radical

Construcción geométrica del eje radical

Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar trazando una perpendicular que pase por el punto medio (M en la figura) del segmento determinado por los puntos de contacto de la tangente a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura).

Si las circunferencias son tangentes, el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias.

Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias.

Si una de las circunferencias es interior, se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas (a en la figura). El punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten dentro del papel del dibujo).

Eje radical Descripción:

En esta escena podrás ver representado el eje radical de dos circunferencias.

Centro radical de tres circunferencias

Centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias.

Cálculo del centro radical de tres circunferencias

Para determinar el eje radical de tres circunferencias, se halla la intersección del eje radical de una pareja de circunferencias con el eje radical de otro par de circunferencias.

Demostración:

Sean $C_1\,$ , $C_2\,$ y $C_3\,$ las tres circunferencias, y seaea $C_R\,$ el punto de intersección del $E_{1-2}\,$ (eje radical de $C_1\,$ y $C_2\,$ ) y $E_{2-3}\,$ (eje radical de $C_2\,$ y $C_3\,$ ).

Como $C_R\,$ pertenece a $E_{1-2}\,$ , $C_R\,$ tiene la misma potencia respecto a $C_1\,$ y $C_2\,$ . Y por pertenecer a $E_{2-3}\,$ , $C_R\,$ tiene la misma potencia respecto a $C_2\,$ y $C_3\,$ .

Por tanto, $C_R\,$ tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias.