Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Producto escalar de vectores
2 Propiedades del producto escalar
3 El producto escalar con bases ortonormales
4 Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})$

Propiedades del producto escalar

Propiedad fundamental del producto escalar

Propiedades (1)

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ó $\vec{v}=\vec{0}$ entonces $\vec{u} \cdot \vec{v}=0$ .

$\forall \, \vec{u} \, , \vec{v} \ne \vec{0}$ se cumple que $\vec{u} \bot \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v}=0$

Demostración:[Mostrar]

Vectores ortogonales (7´44") Sinopsis: [Mostrar]

Signo del producto escalar

Propiedades (2)

El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

$\vec{u} \cdot \vec{v}>0$ si $\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ es agudo.
$\vec{u} \cdot \vec{v}<0$ si $\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ es obtuso.

Demostración:[Mostrar]

Signo del producto escalar de vectores Descripción: [Mostrar]

Propiedades del producto escalar

Propiedades (3)

Conmutativa: $\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}$

Asociativa mixta: $\lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}= \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v})\, , \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$

Distributiva: $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$

$\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$

Demostración:[Mostrar]

Proyección de vectores y producto escalar

Llamaremos proyección del vector $\vec{v}$ sobre el vector $\vec{u}$ , al número

$proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=|v| \, \cos \, \alpha \qquad$

siendo $\alpha= \widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ el ángulo que forman los dos vectores.

Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea $cos \, \alpha$ .

Gráficamente es como la sombra (ver segmento rojo en figura adjunta) que proyecta $\vec{v}$ perpendicularmente sobre $\vec{u}$ , si pusieramos una luz encima de ellos.

Nota: Aquí la proyección se define como un escalar (la medida del segmento rojo de la figura de la derecha). Otras veces, la proyección se define como el vector que determina la sombra tomando como origen, el origen común de los dos vectores, y como extremo, el de la intersección con la línea discontinua perpendicular al vector $\vec{u}$ (ver figura adjunta). En tal caso, para obtener el vector proyección, deberíamos multiplicar el valor de la proyección (escalar) por el vector $\vec{u}$ hecho unitario:

$\vec{proy}_{\vec{u}}\, \vec{v}=proy_{\vec{u}}\, \vec{v} \cdot \cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$

Proposición (4)

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

$\vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, |\vec{v}| \, proy_{\vec{v}}\, \vec{u} \, = \, |\vec{u}| \, proy_{\vec{u}}\, \vec{v}$

En consecuencia:

$proy_{\vec{v}}\, \vec{u}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \qquad proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|}$

Demostración:[Mostrar]

Nota: Si consideramos la proyección como vector, tendremos:

$\vec{proy}_{\vec{u}}\, \vec{v}=proy_{\vec{u}}\, \vec{v} \cdot \cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|}\cdot \cfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}\cdot \vec{u}$

Ejercicio (6´25") Sinopsis: [Mostrar]

Corolario (5): Proyecciones coincidentes

Si las proyecciones sobre $\vec{v}$ de $\vec{u_1}$ y de $\vec{u_2}$ coinciden, entonces:

$\vec{u_1} \cdot \vec{v}= \vec{u_2} \cdot \vec{v}$

Demostración:[Mostrar]

Proyecciones de vectores Descripción: [Mostrar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Producto escalar

(Pág. 176)

1; 2; 3a,c,e; 4

3b,d,f; 5

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

Proposición (6)

Sea $B(\vec{x},\vec{y})$ una base ortonormal, entonces

$\vec{x} \cdot \vec{x}=1 \qquad \vec{y} \cdot \vec{y}=1 \qquad \vec{x} \cdot \vec{y}=0$

Demostración:[Mostrar]

Proposición (7)

Si las coordenadas de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , respecto de una base otonormal $B(\vec{x},\vec{y})$ son $\vec{u}(x_1,y_1)$ y $\vec{v}(x_2,y_2)$ , entonces:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: [Mostrar]

Producto escalar de vectores (7´23") Sinopsis: [Mostrar]

Producto escalar de vectores Descripción: [Mostrar]

Producto escalar de vectores [Mostrar]

Vector ortogonal a otro

Proposición (8)

Los vectores de coordenadas $\vec{u}(a,b)$ y $\vec{v}(-b,a)$ , respecto de una base ortonormal, son ortogonales.

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: [Mostrar]

Ejemplo:

Calcula el valor de $x\,$ para que el vector $\vec{u}(x,1)$ sea ortogonal a $\vec{v}(-2,5)$ , respecto de una base ortonormal.

Solución:[Mostrar]

Producto escalar de vectores ortogonales Descripción: [Mostrar]

Módulo de un vector en una base ortonormal

Proposición (9)

El módulo de un vector $\vec{v}(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, es

$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: [Mostrar]

Módulo de un vector [Mostrar]

Ángulo de dos vectores en una base ortonormal

Proposición (9)

Dados dos vectores, $\vec{u}(u_1,u_2)$ y $\vec{v}(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, se cumple que

$cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=\cfrac{u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2} \, \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: [Mostrar]

Ejercicio (5´35") Sinopsis: [Mostrar]

Ángulo entre vectores [Mostrar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Producto escalar con bases ortonormales

(Pág. 178)

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

En estos videotutoriales se va partir de la proposición (7) como definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo) [Mostrar]