La relación de divisibilidad (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Relación de divisibilidad
3 Múliplo y divisor
- 3.1 Propiedades
4 Ejercicios propuestos

Introducción

Para empezar Descripción:

¿Qué normas sigue este baile de números?

(Pág. 44)

Relación de divisibilidad

Dos números enteros $a\;$ y $b\;$ ( $a \ge b\;$ ) , están emparentados por la relación de divisibilidad cuando la división $a:b\;$ es exacta.

Ejemplos:

Un listón de 60 cm se puede partir, exactamente, en trozos de 15 cm, porque la división 60:15 es exacta (cociente=4; resto=0). Por tanto, 60 y 15 están emparentados por la relación de divisibilidad.

Un listón de 60 cm no se puede partir, exactamente, en trozos de 25 cm, porque la división 60:25 no es exacta (cociente=2; resto=10). Así, 60 y 25 no están emparentados por la relación de divisibilidad.

Relación de divisibilidad

Actividad 1 Descripción:

Actividad de introducción a la relación de divisibilidad.

Actividad 2 Descripción:

Múliplo y divisor

Si $a\;$ y $b\;$ $(a \ge b)\;$ están emparentados por la relación de divisibilidad, es decir, $a : b\;$ es exacta, entonces decimos que:

$a\;$ es multiplo $b\;$ y lo expresaremos simbólicamente: $a= \dot b$ .
$b\;$ es divisor de $a\;$ y lo expresaremos simbólicamente: $b|a \;\!$ .

Ejemplos:

La división 60:15=4 es exacta. Entonces 60 es un múltiplo de 15 $(60= \dot 15)$ y 15 es un divisor de 60 $(15|60 \;\!)$ .
Fíjate que 4 también es divisor de 60 porque la división 60:4=15 es también exacta. Por tanto, los divisores siempre van por parejas.

Proposición

Si $a\;$ es multiplo de $b\;$ , entonces existe un número entero $k\;\!$ tal que $a=b \cdot k$ .

Demostración:

En efecto, si a es multiplo de b, entonces la división a:b es exacta. Si llamamos k al cociente, se cumple que a=b·k.

Múltiplos y divisores (2'05") Sinopsis:

¿Cómo se sabe si un número es múltiplo o divisor?

Observación:

Las definiciones vistas hasta ahora las podríamos haber dado igualmente cambiando números enteros por números naturales. En lo que resta de tema sólo hablaremos de números naturales para evitar duplicidades por cuestiones de signo, sin embargo, todo lo que digamos será también aplicable a números enteros, salvo pequeños matices que obviaremos por cuestiones de simplicidad.

Propiedades

Propiedades de los múltiplos

Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
Todo número natural $a\,$ tiene infinitos múltiplos, $a \cdot k$ , que se obtienen multiplicándolo por un número natural $k\,$ cualquiera.
El 0 es múltiplo de cualquier número.
La suma de dos o más multiplos de $a\,$ es otro múltiplo de $a\,$ .
La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.
Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

Propiedades de los divisores

Todo número natural distinto de cero tiene al menos dos divisores: 1 y él mismo.
Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él. Por tanto, el número de divisores es finito.
Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.
Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo de éste.
Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.