Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Multiplicación de números complejos en forma polar
2 Potencias de números complejos en forma polar
- 2.1 Fórmula de Moivre
3 División de números complejos en forma polar
4 Ejercicios propuestos
5 Radicación de números complejos en forma polar
6 Ejercicios propuestos
7 Ejercicios

Multiplicación de números complejos en forma polar

Producto de complejos en forma polar

El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.

$r_\alpha \cdot s_\beta=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}$

Demostración:

Expresando los complejos en forma trigonométrica: $r_\alpha = r \, (cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha) \, , \quad s_\beta = s \, (cos \, \beta + i \, sen \, \beta)$

$r_\alpha \cdot s_\beta=r \, (cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha) \cdot s \, (cos \, \beta + i \, sen \, \beta)=$

$=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta + i \, cos \alpha \, sen \beta + i \, sen \, \alpha \, cos \, \beta + i^2 \, sen \, \alpha \, sen \, \beta ]=$

$=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta - sen \, \alpha \, sen \, \beta+ i \, ( cos \alpha \, sen \beta + sen \, \alpha \, cos \, \beta )]=$

$=r \cdot s \, [cos (\alpha + \beta ) + i \, sen \, ( \alpha + \beta )]=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}$

Ejemplo:

$2_{30^\circ} \cdot 3_{60^\circ}=(2 \cdot 3)_{30^\circ + 60^\circ}=6_{90^\circ}$

Multiplicación de complejos en forma polar Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las multiplicaciones de números complejos en forma polar.

Producto y cociente de números complejos en forma polar (10´34") Sinopsis:

Videotutorial.

Potencias de números complejos en forma polar

Potencia de un complejo en forma polar

La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:

$(r_\alpha)^n =(r^n)_{n \cdot \alpha}$

Demostración:

La potencia n-ésima de un compejo es el resultado de multiplicar dicho complejo por sí mismo n veces, por tanto, aplicando la fórmula del producto:

$(r_\alpha)^n =(r_\alpha) \cdot (r_\alpha) \cdot \cdots \cdot (r_\alpha)=(r \cdot r \cdots r)_{( \alpha + \alpha + \cdots + \alpha )}=(r^n)_{n \cdot \alpha}$

Ejemplo:

$(2_{30^\circ})^3 =(2^3)_{3 \cdot 30^\circ}=8_{90^\circ}$

Potencias de complejos en forma polar Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las potencias de números complejos en forma polar.

Potencias de números complejos en forma polar

Tutorial (7´35") Sinopsis:

Videotutorial.

Ejercicio 1 (6´50") Sinopsis:

Calcula $( - 1 + i) 30$

Potencias sucesivas de la unidad imaginaria (en forma polar)

Tutorial (7´05") Sinopsis:

Potencias sucesivas de la unidad imaginaria. Ejemplos.

Ejercicios (7´17") Sinopsis:

3 ejercicios.

Fórmula de Moivre

Fórmula de Moivre

$(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)$

Esta fórmula debe su nombre al matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).

Demostración:

Basta aplicar la fórmula de la potencia de un complejo en forma polar y tener en cuenta la forma trigonométrica de un número complejo:

$(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=(1_\alpha)^n=(1^n)_{n \cdot \alpha}=1_{n \cdot \alpha}=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)$

Ejemplo:

Calcula $cos \, 2\alpha$ y $sen \, 2\alpha$ mediante la fórmula de Moivre.

Solución:

Hay que hacer n=2 en la fórmula de Moivre, desarrollar el cuadrado de la izquierda, y después igualar las partes reales y las partes imaginarias en la igualdad.

División de números complejos en forma polar

División de complejos en forma polar

La división de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.

$\cfrac{r_\alpha}{s_\beta}=\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta}$

Demostración:

Ejemplo:

$6_{60^\circ} : 3_{45^\circ}=\Big( \cfrac{6}{3} \, \Big)_{60^\circ - 45^\circ}=2_{15^\circ}$

División de complejos en forma polar Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las divisiones de números complejos en forma polar.

Producto y cociente de números complejos en forma polar (10´34") Sinopsis:

Videotutorial.

Operaciones con complejos en forma polar (11'53") Sinopsis:

3 ejemplos.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Operaciones con complejos en forma polar

(Pág. 154-155)

2a,d,e,f; 3a; 4d; 5

1; 2b,c; 3b; 4a,b,c

Radicación de números complejos en forma polar

Un número complejo $w \,$ es una raíz n-ésima de otro complejo $z \,$ si se cumple que $w^n=z \,$ .

Raíces de un complejo

Un número complejo $z=R_A \,$ tiene exactamente n raíces n-ésimas $w=r_\alpha \,$ , que se obtienen de la siguiente manera:

$r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[n]{R} \\ \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}$

Además, las n raíces están ubicadas en el plano complejo en los vértices de un polígono regular de n lados cuyo centro es el origen de coordenadas.

Demostración:

Por la definición de raíz n-ésima:

$\sqrt[n]{z}=w \iff z=w^n \iff (R_A)=(r_\alpha)^n \iff R_A=(r^n)_{n \, \alpha}$

Igualando módulos ya rgumentos:

$R_A=(r^n)_{n \, \alpha} \iff \begin{cases} r^n=R \iff r=\sqrt[n]{R} \\ n \, \alpha = A + 2k \pi \iff \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}$

A partir de k=n, los ángulos que se obtienen son coterminales con los ya obtenidos.

Para la segunda parte, fíjate que todas las raíces tienen el mismo módulo, por lo que están a la misma distancia del origen, es decir, están en una circunferencia de centro el origen y radio $r=\sqrt[n]{R}$ .

En cuanto a los argumentos, tenemos que:

$\alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}=\cfrac{A}{n}+\cfrac{2\pi}{n}\,k$

por lo que cada raíz se obtiene girando la anterior un mismo ángulo $\cfrac{2\pi}{n}$ . Como este ángulo resulta de dividir en n partes iguales una vuelta completa de circunferencia, las n raíces están separadas entre sí por un mismo ángulo central.

En consecuencia, las raíces están ubicadas en los vértices de un polígono regular de n lados cuyo centro es el origen de coordenadas.

Ejemplo:

Calcula $\sqrt[3]{1+i}$

Solución:

Primero pasamos el complejo $z=1+i\,$ a forma polar:

$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
$arg(z)=arctg \, \cfrac{1}{1}=45^\circ$

Así, $z=1+i=(\sqrt{2})_{45^\circ}$

Ahora procedemos a calcular sus 3 raíces cubicas:

$\sqrt[3]{(\sqrt{2})_{45^\circ}}=r_\alpha$ , siendo $\begin{cases} r=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \\ \alpha=\cfrac{45^\circ +2k \pi}{3}\, , \quad k=0,1,2 \end{cases}$

De donde $r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[6]{2} \\ \alpha= 15^\circ \, , \quad 135^\circ \, , \quad 257^\circ \end{cases}$

Soluciones:

$(\sqrt[6]{2})_{15^\circ} \, , \quad (\sqrt[6]{2})_{135^\circ} \, , \quad (\sqrt[6]{2})_{257^\circ}$

Raíces de un complejo en forma polar Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las raíces de números complejos en forma polar.

Radicación de números complejos expresados en forma polar

Tutorial (6´07") Sinopsis:

Videotutorial.

Ejercicio 1 (12´01") Sinopsis:

2 ejercicios (Raíces sextas de -64 y de 64).

Ejercicio 2 (7´03") Sinopsis:

2 ejercicios (Raíces cúbicas de 1 y de -1).

Ejercicio 3 (5´07") Sinopsis:

2 ejercicios (Raíces cuartas de 1 y de -1).

Ejercicio 4 (5´19") Sinopsis:

Halla las raíces cuartas de $\cfrac{i^5-i^3}{1+i}$ .

Ejercicio 5 (2´59") Sinopsis:

Los afijos de los números complejos $z_1\;$ , $z_2\;$ y $z_3\;$ son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de centro el origen de coordenadas. Sabiendo que $z_1=1+i\;$ , calcula $z_2\;$ y $z_3\;$ .