Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Ecuación de primer grado con dos incógnitas

(Pág. 160)

Ecuación de primer grado con dos incógnitas

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas o ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación polinómica de primer grado con dos incógnitas. Por tanto, se puede expresar de la siguiente forma general:

$ax+by=c\;\!$

donde $x\;\!$ e $y\;\!$ son variables (incógnitas) y $a,\, b\;\!$ y $c\;\!$ constantes (números reales).

Ejemplos:

$x-2y=1\;\!$ (es de primer grado con 2 incógnitas)
$xy-2x=1\;\!$ (no es de primer grado, aunque si tiene dos incógnitas)

Soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas

Las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas $ax+by=c\;$ son las parejas de valores $(x,y)\;$ que hacen que se cumpla la igualdad.

Ejemplo

La pareja de valores (2,1) es una solución de la ecuación $x+3y=5\;$ porque si $x=2\;$ e $y=1\;$ , entonces $2+3 \cdot 1 =5\;$ .

Proposición

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas $ax+by=c\;\!$ tiene infinitas soluciones.

Para cada valor que le asignemos a la variable $x\;\!$ , podemos encontrar un valor de la variable $y\;\!$ , despejándola en la anterior ecuación, como se muestra a continuación:

$y=\cfrac{c-ax}{b}$

Ejemplo

La ecuación $2x+y=5\;$ tiene infinitas soluciones que se pueden obtener dando valores a la variable $x\;$ y despejando la variable $y\;$ :

Si $x=1\;$ , entonces $2 \cdot 1 + y = 5 \rightarrow y=5-2 \rightarrow y=3 \rightarrow (1,3)$
Si $x=0\;$ , entonces $2 \cdot 0 + y = 5 \rightarrow y=5-0 \rightarrow y=5 \rightarrow (0,5)$

También podemos hallar el valor de $x\;$ a partir de cualquier valor de $y\;$ dado. En este caso habrá´que despejar la $x\;$ :

Si $y=7\;$ , entonces $2 \cdot x + 7 = 5 \rightarrow 2x=5-7 \rightarrow x=-1 \rightarrow (-1,7)$

...

Soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

Ejercicio 1 (1'47") Sinopsis:

Dada la ecuación -3x - y = 6, indica cuáles de los siguientes pares son solución de ella: (-4,4) y (-3,3).

Ejercicio 2 (2'20") Sinopsis:

Dada la ecuación 4x - 1 = 3y + 5, indica cuáles de los siguientes pares son solución de ella: (3,2) y (2,3).

Soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

Autoevaluación 1 Descripción:

Soluciones de ecuaciones lineales de dos variables.

Autoevaluación 2 Descripción:

Completa soluciones de ecuaciones lineales de dos variables.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

(Pág. 160)

1 al 4

(Pág. 161)

Representación gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

Proposición

Las parejas de soluciones $(x,y)\;\!$ de una ecuación lineal con dos incógnitas, representadas como puntos en un sistema de ejes cartesianos, forman una recta.

El punto de corte con el eje de abscisas (OX), que se obtiene para $y=0\;$ , recibe el nombre de abscisa en el origen.
El punto de corte con el eje de ordenadas (OY), que se obtiene para $x=0\;$ , recibe el nombre de ordenada en el origen.

Ejemplo: Representación gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

Halla y representa las soluciones de la ecuación:

$2x+3y=4\;\!$

Solución:

Despejamos la variable y:

$y=\cfrac{4-2x}{3}$

Construimos una tabla de valores, dandole valores a $x\;\!$ y calculando $y\;\!$ en la expresión anterior:

x	-1	2	5	...
y	2	0	-2	...

Las soluciones vienen dadas por las parejas $(x,y)\;\!$ así obtenidas:

$(-1,2),\ (2,0),\ (5,-2),...$

Si representamos estas soluciones como puntos de unos ejes de coordenadas, comprobaremos que se encuentran situados en una línea recta, como puedes ver en la siguiente escena.

Comprueba que los puntos solución se encuentran en la recta azul. Para ello deberás introducir el valor de $x\;\!$ en el cuadro inferior y pulsar "Intro":

Click aquí si no se ve bien la escena

Calcula algunas soluciones más y compruébalas en la escena anterior.

Concluyendo: Las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas son infinitas y los puntos que se obtienen con sus coordenadas, están situados en una recta.

Representación de puntos en el plano cartesiano

Tutorial 1 (3'47") Sinopsis:

Representación de puntos en el plano cartesiano.

Tutorial 2 (4´43") Sinopsis:

Cómo encontrar los puntos en el plano cartesiano.

Tutorial 3 (6´37") Sinopsis:

Conocemos el plano cartesiano, como ubicar un punto por medio de una pareja de coordenadas. Las partes del plano, que son las abscisas, las ordenadas, el eje X, el eje Y y otros conceptos.

Tutorial 4 (7'05") Sinopsis:

Representación de puntos en el plano cartesiano.

Tutorial 5 (11'53") Sinopsis:

El Sistema de Referencia Cartesiano Plano permite identificar enequívocamente los puntos del plano mediante el eje de abcisas (x), y el eje de odenadas (y).

Tutorial 6 (4'59") Sinopsis:

En esta clase veremos qué son las coordenadas de un punto y cómo se representa un punto cualquiera en el plano a partir de sus coordenadas.

Tutorial 7 (12'04") Sinopsis:

Qué es la geometría analítica. Ejes de coordenadas y puntos.

Presentación + Ejercicios (6´30") Sinopsis:

Video-presentación sobre el plano cartesiano. Al final tienes dos ejercicios propuestos con sus soluciones.

Ejercicio 1 (6´07") Sinopsis:

Dibuja unos ejes cartesianos y ubica los puntos (2,4), (-2,3), (5,-4), (-6,4) y (0,3).

Ejercicio 2 (2'56") Sinopsis:

Dibuja unos ejes cartesianos y ubica los puntos (-3,4), (2,3), (-1,-3), (2,-4) y (0,0).

Ejercicio 3a (7'28") Sinopsis:

1) Escribe las coordenadas de los puntos representados gráficamente.

2) Dibuja los puntos A(-2,2), B(5,6), C(-1,0), D(-2,-3), E(0,5), F(-4,7) en unos ejes cartesianos.

Ejercicio 3b (7'52") Sinopsis:

3) Dibuja los puntos A(1,3), A'(-1,3), B(2,5), B'(-2,5), C(4,7), C'(-4,7) en unos ejes cartesianos.

Ejercicio 3c (12'37") Sinopsis:

4) Dibuja los puntos A(2,2), B(2,-2), C(-2,2), D(-2,-2) en unos ejes cartesianos.

5) Representa cinco puntos con la misma ordenada en unos ejes cartesianos.

6) Representa cinco puntos con la misma abscisa en unos ejes cartesianos.

7) Representa cinco puntos con la misma abscisa y ordenada en unos ejes cartesianos.

Ejercicio 4a (2'09") Sinopsis:

Representa el punto (6,-8) en el plano coordenado.

Ejercicio 4b (1'11") Sinopsis:

Indica cuál de los puntos dados mediante sus coordenadas no está representado en lo ejes coordenados.

Ejercicio 4c (2´24") Sinopsis:

¿En qué cuadrante se encuentra ubicado el punto (-7,7)?

Ejercicio 4d (4´05") Sinopsis:

Representa cada uno de los siguientes puntos e indica en qué cuadrante se encuentran ubicados:

a) (-2.5,2) b) (-5,-9) c) (2, -6)

Ejercicio 4e (7´01") Sinopsis:

Representa los puntos (2,4) y (2, -8) en el plano coordenado y averigua la distancia que hay entre ellos.
Interpretación de una gráfica dada.
Representa los puntos (-8,7) y (5, 7) en el plano coordenado y averigua la distancia que hay entre ellos.

Ejercicio 4f (2´30") Sinopsis:

Ejercicios sobre puntos reflejados.

Ejercicio 4g (6'51") Sinopsis:

Indica las coordenadas de los puntos representados en el plano cartesiano.
Dibuja los puntos A(4,2), B(-3,5.5), C(4,-4) y D(-2,-3) en unos ejes cartesianos.
Los puntos A(-4,-4), B(3,-4) y C(3,3) son tres de los vértices del cuadrado ABCD. Dibújalos en el plano cartesiano y determina las coordenadas del punto D.

Ecuación lineal con dos incógnitas. Representación gráfica.