Funciones: Definición

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Tabla de contenidos

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Introducción

Para empezar     Descripción:

Actividad de introducción al tema de funciones.

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Concepto de función

  • Una función es una relación entre dos variables (por ejemplo, x\; e y\;) que a cada valor de x\; le asigna un único valor de y\;.
  • La variable x\; se llama variable independiente y la variable y\; se llama variable dependiente, porque su valor depende de x\;.
  • Se dice que y\; es función de x\; y lo representamos por y = f(x)\;\!. También se dice que y\; es la imagen de x\; mediante la función f\;.

ejercicio
Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

La relación entre el tiempo (t) que el grifo está abierto y el volumen (V) de agua que hay en el depósito es una función.

El volumen es función del tiempo: V=f(t)\;

  • La variable independiente (t) es el "tiempo que está abierto el grifo".
  • La variable dependiente (V) es el "volumen de agua que se ha llenado el depósito".

En los siguientes videos se explican los conceptos básicos sobre funciones que trataremos a lo largo de este tema.

video
Concepto de función
Tutorial 1 (27'16")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explican los conceptos básicos sobre funciones: variable independiente, dependiente, imagen, preimagen, dominio, recorrido... necesarios para poder comprender la terminología que se emplea en el análisis matemático.

Tutorial 2 (46'32")     Sinopsis:
  • Definición de función.
  • Dominio e imagen (o rango).
  • Distintas formas de representar una función.
  • Ejercicios resueltos.

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Formas de expresar una función

Una función se puede expresar de varias formas:

  • Mediante un enunciado que explique la relación que existe entre las variables.
  • Mediante una expresión analítica, esto es, una ecuación que relacione las variables.
  • Mediante una tabla que contenga los valores de las variables, emparejados.
  • Mediante una gráfica, representada en unos ejes cartesianos con una escala adecuada. Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente x\;, y sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente y\;. Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores x\; e y\;, que son sus coordenadas (x,y)\;, su abcisa y su ordenada.

ejercicio
Ejemplo:

Consideremos el ejemplo anterior del grifo y el depósito:

1. Enunciado:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

2. Expresión analítica:

V=f(t)=2t\;
t = "Tiempo que está abierto el grifo" (en segundos).
V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito" (en litros).

3. Tabla de valores:

Tiempo (s)

 0 1 5 20 40 60 100

Volumen (l)

 0 2 10 40 80 120 200


4. Gráfica:

Representaremos los valores de la tabla en unos ejes de coordenadas. Cada punto de la gráfica consta de dos coordenadas: la primera es el valor de t y la segunda, el valor de V.

wolfram
Formas de expresar una función
wolfram

Actividad: Tabla de valores y gráfica de una función dada por una expresión analítica

En el ejemplo anterior hemos trabajado con la función V=2t:

a) Obtén la tabla para t=0 hasta t=100 de 10 en 10.
b) Dibuja la gráfica.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) Table[2t,{t,0,100,10}]
b) Plot Table[2t,{t,0,100,10}]

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Funciones dadas mediante enunciados

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Funciones dadas mediante enunciados
Ejercicio 1 (4'28")     Sinopsis:

Arjun abrió una cuenta de ahorros el pasado año y puso una cantidad inicial e ella. Sea M(t) el saldo de la cuenta (medido en pesos), a los t días desde que fue abierta. ¿Qué significa la expresión M(30) - M(0) = 100 ?

Ejercicio 2 (3'16")     Sinopsis:

Sea P(t) el número de personas en la playa de Copacabana en Río de Janeiro, t horas después de la medianoche de un cierto día. ¿Qué significa la expresión P(5) < P(9) ?

Funciones dadas mediante enunciados     Descripción:

Autoevaluación.

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Funciones dadas mediante expresiones analíticas

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Funciones dadas mediante expresiones analíticas
Tutorial (8'38")     Sinopsis:
  • ¿Qué es una función?
  • ¿Cómo se evalúa una función?
Ejercicio (1'03")     Sinopsis:

La función f(x) se define como f(x)=49-x^2\;. Encuentra el valor de f(5).

Funciones dadas mediante expresiones analíticas     Descripción:

Evalúa funciones a partir de su expresión analítica.

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Funciones dadas mediante tablas

Funciones dadas mediante tablas (21'29")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explican los conceptos básicos de la función y su trabajo en forma de tabla: variable independiente, dependiente, imagen, preimagen, dominio, recorrido...

Nota: Algunos conceptos tratados en este tutorial se verán, más adelante, a lo largo de este tema.

Concepto de función y tabla de valores     Descripción:

Actividad en la que aprenderás el concepto de función con distintos ejemplos y su representación mediante tabla de valores.

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Representación de funciones mediante gráficas

La representación gráfica de una función nos permite visualizar el comportamiento de las dos variables.

ejercicio

Procedimiento

  • Usaremos un sistema de ejes cartesianos con una escala adecuada.
    • Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente x\;.
    • Sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente y\;.
  • Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores x\; e y\;, que son sus coordenadas (x,y)\;, su abscisa y su ordenada.

ejercicio
Ejemplo:

Consideremos el ejemplo anterior del grifo y el depósito:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

Función:

El volumen del depósito es función del tiempo: V=f(t)\;

t = "Tiempo que está abierto el grifo" (en segundos).
V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito" (en litros).

Tabla de valores:

Para obtener la representación gráfica es necesario obtener puntos de la misma. Para ello construiremos la llamada tabla de valores, que consiste en averiguar parejas de valores (t,V) que estén relacionadas mediante la función:

tiempo (s)

 0 1 5 20 40 60 100

Volumen (l)

 0 2 10 40 80 120 200


Gráfica:

Representaremos los valores de la tabla en unos ejes de coordenadas. Cada punto de la gráfica consta de dos coordenadas: la primera es el valor de t y la segunda, el valor de V.

video
Representación gráfica de funciones
Actividad 1     Descripción:

Actividad en la que aprenderás a representar gráficamente una función a partir de su tabla de valores. Las funciones son las que sirvieron de ejemplo en la actividad del apartado anterior.

Actividad 2     Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan los puntos de la gráfica de una función en unos ejes de coordenadas cartesianos.

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Funciones dadas mediante gráficas
Tutorial 1 (25'04")     Sinopsis:

La primera parte del tutorial recuerda los conceptos básicos sobre funciones: variable independiente, dependiente, imagen, preimagen, dominio, recorrido... En la segunda parte se muestran ejemplos de funciones dadas mediante gráficas.

Tutorial 2: Gráficas engañosas (4'54")     Sinopsis:

Ejemplo de cómo se pueden usar las gráficas de forma engañosa en publicidad.

El lenguaje de las gráficas (13´)     Sinopsis:

Las gráficas de contenido matemático se han convertido en el lenguaje más universal de finales del siglo XX. En cualquier medio de comunicación cada vez que se quiere dar información cuantitativa de un proceso aparece una gráfica matemática. Sus ventajas son incuestionables, son capaces de ofrecer gran cantidad de información de un simple vistazo. Constituyen un instrumento imprescindible en campos tan dispares como la medicina, la economía, la física, la biología y hasta en el deporte. En este programa investigaremos su origen relativamente reciente, tienen poco más de 200 años de existencia, y sus distintas aplicaciones y daremos algunos consejos para interpretar de forma crítica la información presentada en forma de gráficas.

Ejercicio 1 (0'35")     Sinopsis:

Halla f(6) a partir de la gráfica de f(x).

Ejercicio 2 (1'50")     Sinopsis:

Halla 2·f(8) + 8·g(8) a partir de las gráficas de f(x) y g(x).

video
Funciones dadas mediante gráficas
Actividad 1     Descripción:

Función que relaciona el tiempo que lleva abierto un grifo y la altura que alcanza el nivel del agua en un depósito cilíndrico.

La siguiente escena representa una botella (en color rojo) que cuando abras el grifo se comenzará a llenar de agua. El proceso de llenado de la botella se puede describir matemáticamente con lo que llamamos función, así para un tiempo concreto la función nos dice la altura de la botella en ese momento. El dibujo que queda tras el punto A se llama gráfica de la función.

Haz clic en el botón y dejándolo pulsado observa cómo se llena la botella .

Observa que en el eje horizontal representamos el tiempo que dejamos el grifo abierto y en el vertical la altura que el agua alcanza en la botella. En el eje horizontal hemos empezado a marcar 1 segundo, 2 segundos, etc.

Observa en este ejemplo, que la altura es cero cuando el tiempo transcurrido es cero y que la gráfica va creciendo.

a) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas.

Si haces clic sobre un punto con el cursor te aparecerán los valores horizontal (tiempo) y vertical (altura) para ese punto.

b) ¿Qué puedes decir de la relación entre las variables tiempo y altura?
c) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse hasta la mitad?
d) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse un cuarto? ¿Y tres cuartos?
Actividad 2     Descripción:

Función que relaciona el tiempo que lleva abierto un grifo y la altura que alcanza el nivel del agua en un depósito de forma cónica.

En la siguiente escena la forma de la botella ha cambiado.

a) Intenta hacer la gráfica antes de ver como queda en la escena.
b) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas.
c) ¿Qué puedes decir de la relación entre las alturas y los tiempos?
d) Ahora la altura del agua según pasa el tiempo sube más despacio, ¿por qué?

Ahora prueba a cambiar la forma de la botella moviendo el punto P.

e) Haz una botella con la boca más estrecha que la base y observa las distintas gráficas que se generan. Da una explicación de lo qué ocurre.
f) Las gráficas unas veces son convexas (tipo U) y otras cóncavas (tipo U invertida), ¿de qué depende?
Autoevaluación 1     Descripción:

Evalúa funciones a partir de su gráfica.

Autoevaluación 2     Descripción:

Evalúa expresiones con funciones.

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Reconocer relaciones funcionales y no funcionales

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Reconocer relaciones funcionales y no funcionales
Tutorial 1a (5´01")     Sinopsis:

Reconocer relaciones funcionales a partir de una gráfica.

Tutorial 1b (1´25")     Sinopsis:

¿Una recta vertical representa una función?

Tutorial 1c (5´26")     Sinopsis:

Reconocer funciones a partir de una tabla.

Ejercicio 1 (1´46")     Sinopsis:

El valor de y siempre es "tres más que el doble de x". ¿Es y una función de x?

Ejercicio 2 (2´34")     Sinopsis:

Gaby está comprando regalos en línea. El costo del envío se basa en la cantidad de dinero del pedido. Para pedidos superiores a $20, el coste del envío es $4. Para pedidos de $20 o menos, el coste es del envío es $7. ¿Podemos expresar la cantidad de dinero del pedido en función del coste del envío?

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Reconocer relaciones funcionales y no funcionales
Actividad 1     Descripción:

Actividades con las que aprenderás a distinguir relaciones que son función de las que no.

Actividad 2     Descripción:

Determina si son o no son funciones las siguientes gráficas.

Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos x\; (variable independiente) e y\; (variable dependiente). Se le llama variable dependiente porque su valor depende del valor de la otra que llamamos independiente.

Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le debe corresponder un sólo valor de la variable dependiente.

a) Observa en la escena las gráficas y di cuál de ellas es función y por qué no lo es la otra. Para ello, mueve el punto P y fíjate cuántos puntos de corte tiene la recta azul con cada gráfica. Si es más de uno no es una función.
Actividad 3     Descripción:

En esta escena podrás ver, mediante ejemplos gráficos, como algunas relaciones entre variables son función y otras no.

Autoevaluación 1     Descripción:

Reconocer relaciones funcionales a partir de gráficas

Autoevaluación 2     Descripción:

Reconocer relaciones funcionales a partir de tablas

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Dominio e imagen de una función

  • El conjunto de valores de la variable independiente, x\;, para los que hay un valor de la variable dependiente, y\;, se llama dominio de definición de la función. Se denota Dom_f\;.
  • El conjunto de valores que toma la variable independiente, y\;, se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota Im_f\;.
  • Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.

ejercicio
Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

t = "Tiempo que está abierto el grifo".
V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito".
  • Dominio: El tiempo que el grifo puede estar abierto es un número que varía entre 0 segundos y 100 segundos: Dom_f=[0,100]\;
  • Recorrido: El volumen de agua que se ha llenado el depósito es un número que varía ente 0 litros y 200 litros: Im_f=[0,200]\;

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Dominio e imagen de una función
Tutorial (10'16")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio y la imagen de una función a partir de su gráfica.

Halla el dominio de una función a partir de su gráfica:

Ejercicio 1 (1'11")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'23")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'26")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'33")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 5 (4'38")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Halla la imagen de una función a partir de su gráfica:

Ejercicio 1 (1'24")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'20")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (0'53")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'34")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Halla el dominio de una función a partir de un enunciado:

Ejercicio 1 (2'19")     Sinopsis:

Pati tiene una hermosa planta. La planta empezó a retoñar 2 días antes de que Pati la comprara, y la tuvo por 98 días antes de que muriera. La altura máxima que alcanzó a planta fue de 30 cm. Si denotamos por h(t) la altura de la planta en cm tras transcurrir t días desde el día de la compra, indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Ejercicio 2 (3'09")     Sinopsis:

Thomas tiene 400 barras de caramelo en su tienda, y cada una cuesta $0.50. Sea p(b) el precio, medido en pesos ($), de la compra de b barras de caramelo. Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Ejercicio 3 (4'25")     Sinopsis:

Mason está parado en el 5º escalón de una escalera vertical. La escalera tiene 15 escalones y la diferencia de altura entre escalones consecutivos es de 0.5 m. Él está pensando si sube, baja o se queda quieto. Sea h(n) la altura por encima del nivel del suelo de los pies de Mason (medido en metros) después de moverse n escalones (si Mason bajara n escalones , n es negativa). Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Imagen y antiimagen:

Ejercicio 1 (1'30")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 2 (1'46")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 3 (2'49")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 4 (2'28")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 5 (1'45")     Sinopsis:

Dada la gráfica de la función g(x), halla la antiimagen de -2, es decir, el valor de x para el cual g(x) = -2.

Ejercicio 6 (2'18")     Sinopsis:

Dada la gráfica de la función f(x), halla el valor de x, además de -5, para el cual f(x) = f(-5).

Ejercicio 7 (2'14")     Sinopsis:

Dada la función f(t) = -2t + 5, halla la antiimagen de 13, es decir, el valor de t para el cual f(t) = 13.

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Dominio e imagen de una función
Actividad 1a     Descripción:

Actividades en las que aprenderás de forma visual los conceptos de dominio y recorrido de una función.

Actividad 2     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

Suponiendo que la gráfica se comporta de forma análoga a lo largo de todo el eje X, ¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 3     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 4     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 5     Descripción:

En esta escena podrás visualizar el dominio y la imagen de una función. Podrás elegir entre un tramo de recta (función lineal) o de parábola (función cuadrática).

Autoevaluación 1     Descripción:

Dominio y rango a partir de gráficas.

Autoevaluación 2     Descripción:

Dominio de una función dada por un enunciado.

Imagen y antiimagen:

Actividad     Descripción:

Actividades con las que aprenderás los conceptos de imagen y antiimagen.

Autoevaluación 1     Descripción:

Halla la antiimagen utilizando la gráfica de la función.

Autoevaluación 2     Descripción:

Halla la antiimagen utilizando la expresión analítica de la función.

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Variables discretas y continuas

En una función, la variable independiente puede ser:

  • Continua: Si toma valores en intervalos. En consecuencia, siempre toma infinitos valores. La gráfica de la función estará formada por trazos.
  • Discreta: Si los valores que toma la variable están separados (no toma valores en ningún intervalo). Puede tomar un número finito o infinito de valores. La gráfica de la función estará formada por puntos separados.

ejercicio
Ejemplos:
  • Son variables continuas: El peso de una persona, la velocidad de un móvil, la altura de un triángulo, etc. De forma más general, una variable que tome valores en el conjunto de los números reales, en un intervalo real o en la unión de varios intervalos reales.
  • Son variables discretas: El número de hijos de una familia, el número de trabajadores de una plantilla, el número de alumnos de un curso, etc. De forma más general, una variable que tome valores en el conjunto de los números enteros o en un subconjunto suyo.

video
Variables discretas y continuas
Actividad 1: Variable discreta     Descripción:

En la papelería de la esquina compramos bolígrafos a 0.30 €, cada uno. Relaciona el número de bolígrafos comprados y el precio de la compra.

Tabla de valores:

a) Completa la tabla:

bolígrafos

 0 1 2 3 4 5 6 7

precio

                


Gráfica:

Para representar gráficamente una función utilizamos unos ejes cartesianos con una escala adecuada. En el eje horizontal representamos el número de bolígrafos que compramos. En el eje vertical representamos el precio de la compra. Para cada valor que le asignes al número de bolígrafos se marca en su vertical el precio de esos bolígrafos con un punto rojo.

En la parte inferior de la escena asígnale a la variable bolígrafos los valores de la tabla anterior y observa su precio, es decir, la altura donde se coloca el punto rojo.

b) ¿Cuáles son las escalas utilizadas en la gráfica?, es decir: ¿qué mide un cuadradito cualquiera del eje horizontal? y ¿qué mide un cuadradito cualquiera del eje vertical?

c) Fijándote en la gráfica, ¿cuánto cuestan 16 bolígrafos?. ¿Cuántos bolígrafos te dan por 3,60 €?

d) ¿Tiene sentido unir los puntos rojos de la gráfica? ¿Por qué?

e) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de esta función?

Actividad 2: Variable continua     Descripción:

Vamos al mercado a comprar patatas. El precio de 1 kg es de 0.30 €. Relaciona el número de kilos de patatas adquiridos y su coste.

El siguiente ejemplo es muy similar al anterior. Queremos comprar patatas a 0,30 € el kilo. Podemos construir una tabla y una gráfica idénticas a las anteriores salvo que en el eje horizontal representamos los kilos de patatas.

Pero hay una importante diferencia entre ambos ejemplos: no podemos comprar fracciones de bolígrafos (1.5 o 2.7 bolígrafos) y en cambio sí podemos comprar fracciones de kilos de patatas (1.5 o 2.7 kilos de patatas).

Tabla de valores:

a) Calcula y anota los precios de las siguientes cantidades de patatas. Asígnale esos valores a la variable kilos de la escena siguiente.

kilos de patatas

 0 1 1,5 2 2,7 5 5,7 7

precio

                

Gráfica:

b) ¿Tiene sentido ahora unir los puntos rojos de la gráfica?

Compuébalo en la escena asignándole a la variable kilos el valor 0 y a continuación, mantén pulsado el botón del ratón sobre la fecha superior de los kilos de patatas.

En el primer caso, la gráfica estaba formada por puntos aislados. En este segundo caso, la gráfica es una línea continua.

c) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de esta función?

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Expresión analítica de una función

La expresión analítica de una función es una ecuación que relaciona la variable dependiente con la variable independiente.

ejercicio

Ejemplo: Expresión analítica de una función 

Un rectángulo mide 2 cm más de largo que de ancho.

  1. Halla la expresión analítica de la función que relaciona su área con su lado menor. Halla su dominio.
  2. Halla la expresión analítica de la función que relaciona su perímetro con su lado menor. Halla su dominio.
  3. Haz una tabla de valores para cada función.
  4. Representa gráficamente las dos funciones anteriores.
Solución:

1. Área: El área de un rectángulo que mide 2 cm más de largo que de ancho, viene dada por la expresión analítica:     

A(x)=x(x+2)=x^2+2x\;\!

Como el valor del lado, x\;, no puede ser un número negativo, su dominio es: Dom_A=(0,+\infty)

2. Perímetro: El perímetro de ese mismo rectángulo vendrá dado por:

P(x)=2x+2(x+2)=4x+4 \;\!

Análogamente, su dominio es: Dom_P=(0,+\infty)

Imagen:rectangulo2.png

3. Tablas de valores:

4. Representación gráfica: A partir de los valores de las tablas anteriores, dibujamos los puntos de las gráficas: la dell área (en verde) y la del perímetro (en marrón).

video
Expresión analítica de una función
Tutorial 1 (26'13")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explican los conceptos básicos de la función y de su expresión analítica (expresión en forma de fórmula): variable independiente, dependiente, imagen, preimagen, dominio, recorrido...

Tutorial 2 (28'13")     Sinopsis:

Representación gráfica de funciones básicas

Ejercicio 1 (7'14")     Sinopsis:

Se va a construir una caja rectangular sin tapa a partir de una lámina metálica de 30 cm de largo por 20 cm de ancho. Para ello se van a recortar cuadrados de lado "x" en las esquinas y luego se van a doblar los lados hacia arriba. Obtén la expresión analítica que relaciona el volumen "V" de la caja en función del lado "x".

Ejercicio 2 (9'07")     Sinopsis:

Expresa el área "A" de un triángulo equilátero en función de sus lado "L".

Ejercicio 3 (2'50")     Sinopsis:

Dada la ecuación 4a + 7b = -52, encuentra la expresión analítica de la función a = f(b) que relacione la variable independiente b con la variable dependiente a, es decir, que exprese a en función de b.

Funciones definidas a trozos (21'12")     Sinopsis:

Tutorial en el que se trabaja con las funciones definidas por partes en fórmulas, cálculo de imágenes y preimágenes de valores.

video
Expresión analítica de una función
Actividad     Descripción:

Actividades con las que aprenderás a obtener la expresión analítica de una función descrita mediante un enunciado.

Autoevaluación     Descripción:

Escribir funciones a partir de ecuaciones.

wolfram
Expresión analítica de una función
wolfram

Actividad: Expresión analítica de una función

Dadas las funciones A(x)=x^2+2x\; y P(x)=4x+4\;

a) Obtén la tablas de ambas funciones desde x=0 hasta x=10 (de 1 en 1)
b) Dibuja los puntos obtenidos en las tablas.
c) Dibuja las gráficas.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) Table[x^2+2x,{x,0,10,1}] y Table[4x+4,{x,0,10,1}]
b) Plot Table[x^2+2x,{x,0,10,1}] y Plot Table[4x+4,{x,0,10,1}]
c) Plot A(x)=x^2+2x y Plot A(x)=4x+4

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Dominio de una función dada por una expresión analítica

El dominio de una función puede estar determinado o limitado por diferentes razones:

  • Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x\; (Por ejemplo, si en la expresión analítica aparecen denominadores que se anulan o radicandos que toman valores negativos)
  • Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, el lado no puede tomar valores negativos)
  • Por voluntad de quien propone la función (A veces nos puede interesar estudiar sólo un trozo de la función).

ejercicio

Ejemplos: Dominio de una función dada por una expresión analítica

Halla el dominio de las funciones:
a) y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!
b) y=\cfrac{1}{x-1}
c) y=\sqrt{x}
d) A=l^2\; (Área de un cuadrado de lado l\;)
Solución:
a) Su dominio es [-1,1]\;\!, por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de x\; da un valor de y\; válido.
b) Su dominio es \mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}, porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.
c) Su dominio es \mathbb{R^+}, porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.
d) Su dominio es (0, + \infty), porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

video
Dominio de una función dada por una expresión analítica
Tutorial 1a (8´10")     Sinopsis:

Intervalos. Notación.

Tutorial 1b (9´45")     Sinopsis:

Dominio de una función.

Tutorial 1c (6´01")     Sinopsis:

Rango o imagen de una función.

Tutorial 2 (13´00")     Sinopsis:

Conceptos de dominio y rango de una función. Ejemplos

Tutorial 3 (43'57")     Sinopsis:

Dominio y rango de una función. Ejemplos.

Ejercicio 1 (0'48")     Sinopsis:

Halla el dominio de f(x)=2x^2+5\;.

Ejercicio 2 (1'34")     Sinopsis:

Halla el dominio de n(x)=\cfrac{x^2}{x+2}-5\;.

Ejercicio 3 (1'11")     Sinopsis:

Halla el dominio de h(x)=\cfrac{3x}{x-5}\;.

Ejercicio 4 (1'14")     Sinopsis:

Halla el dominio de m(x)=\sqrt{2x-6}\;.

Ejercicio 5 (1'02")     Sinopsis:

Halla el dominio de g(x)=\sqrt{x+4}\;.

Ejercicio 6 (1'52")     Sinopsis:

Halla el dominio de f(x)=\sqrt{2x-8}\;.

Dominio de una función dada por una expresión analítica     Descripción:

Dominio de una función dada por su expresión analítica.

wolfram
Dominio e imagen de una función
wolfram

Actividad: Dominio e imagen de una función

a) Obtén el dominio y la imagen de la función y=\sqrt{x}.
b) Obtén el dominio y la imagen de la función y=\frac{1}{x}.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) Domain and range sqrt(x)
b) Domain and range 1/x

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Puntos de corte con los ejes de una función

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de la gráfica que pertenecen a los ejes de coordenadas:

  • Puntos de corte con el eje de abscisas (eje X): Son aquellos puntos de la función en los que la variable dependiente, y\;, toma el valor cero.
  • Punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y): Es aquel punto de la función en el que la variable independiente, x\;, toma el valor cero.

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Puntos de corte con los ejes de una función
Tutorial (3'35")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo de los puntos de corte con los ejes de una función dada su gráfica.

Ejercicio 1 (1'04")     Sinopsis:

Estudio de los puntos de corte con los ejes de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'00")     Sinopsis:

Estudio de los puntos de corte con los ejes de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (0'52")     Sinopsis:

Estudio de los puntos de corte con los ejes de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'15")     Sinopsis:

Estudio de los puntos de corte con los ejes de una función a partir de su gráfica.

Puntos de corte con los ejes de una función     Descripción:

Actividades con las que aprenderás a calcular los puntos de corte con los ejes de una función.

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Signo de una función

  • Una función decimos que es positiva cuando la variable dependiente toma valores positivos y decimos que es negativa cuando toma valores negativos.
  • El estudio del signo de una función consistirá en determinar para qué valores de la variable independiente la función es positiva o negativa.

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Signo de una función
Tutorial (6'34")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio del signo de una función dada su gráfica.

Existe un error en el minuto 5:05 cuando se expresa los valores donde se alcanzan valores positivos, ya que el valor máximo que puede tomar la x es 6 y no infinito

Ejercicio 1 (2'29")     Sinopsis:

Estudio del signo de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'36")     Sinopsis:

Estudio del signo de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (2'00")     Sinopsis:

Estudio del signo de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'59")     Sinopsis:

Estudio del signo de una función a partir de su gráfica.

Signo de una función     Descripción:

Actividad en la que debes averiguar los intervalos donde la función es positiva o negativa.

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Ejercicios

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Ejercicios resueltos: Interpretación de gráficas

La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto.

a) ¿Cuáles son las variables relacionadas?
b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje?
c) ¿A qué altura se encuentra el nido?
d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa?
e) ¿Qúe altura máxima alcanza el águila en su vuelo?. ¿Y la mínima?
f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80?

Solución:

a) La variable dependiente es la altura (en metros) y la variable independiente es el tiempo (en segundos).
b) En el eje horizontal, cada cuadrito representa 10 s. En el vertical 10 m.
c) El nido está situado a una altura de 70 m.
d) El vuelo dura 3'20". Da caza a la presa 1'50" después de salir del nido.
e) La altura máxima es 92 m., aproximadamente. La mínima 0 m.
f) En ese intervalo la función es constante, lo que significa que el águila se mantiene volando a la misma altura.

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Ejercicio resuelto: Variables discretas y continuas

Poner una anuncio por palabras cuesta una cantidad fija de 0.50 €, más 0.05 € por cada palabra.

a) Haz una tabla de la función "número de palabras-precio".
b) Representa gráficamente los resultados del apartado anterior.
c) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta?
d) Encuentra su expresión analítica.

Solución:

a) Tabla de valores:

 x (palabras)    0    1    2    3    4    5    6 
 y (céntimos de €)   50   55   60   65   70   75   80 

b) Representación gráfica:


c) La variable independiente es discreta.
d) Expresión analítica: y=5x+50 \quad

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Ejercicio resuelto: Dominio e imagen

1. Indica cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de ser función, indica su dominio y su imagen.
a)Imagen:funcion1a.pngb)Imagen:funcion1b.pngc)Imagen:funcion1c.png

Solución:
a) Es función. Dom=[-3.5, 4]\;\!. Im=[-4, 3]\;\!.

b) No es función.

c) No es función.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Funciones:_Definici%C3%B3n"
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