Plantilla:Crecimiento de una función en un intervalo (1ºBach)

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Tasa de variación media

Para medir el crecimiento medio de una función en un intervalo [a,b], se utiliza la tasa de variación media (T.V.M.), que se define como el cociente de la variación de y entre la variación de x:

T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Si hacemos b=a+h \quad (h \ne 0), la expresión anterior queda como sigue:

T.V.M._f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

ejercicio
Ejemplo:

Sea f(x)= 5x-x^2\;, su T.V.M. en el intervalo [1,2] es:

T.V.M._f \,[1,2]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\cfrac{6-4}{1}=2

ejercicio

Proposición

La T.V.M. de una función en un intervalo [a,b]\; es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abcisas a\; y b\;.

Demostración:
Observa el dibujo de la derecha. Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:


T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m


donde m\, es la pendiente de la recta r.

video
Tasa de variación media
Tutorial 1a (11'56")     Sinopsis:
  • Definición de T.V.M. de f en el intervalo [a,a+h].
  • Interpretación geométrica.
  • Ejemplos
Tutorial 1b: La palabra rapidez (18'54")     Sinopsis:

Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.

Tutorial 1c: Tasa de variación media de una recta (6'50")     Sinopsis:

Tasa de variación media de una recta

Tutorial 1d: Tasa de variación media de una parábola (7'57")     Sinopsis:

Tasa de variación media de una parábola. Interpretación con un ejemplo de la vida cotidiana.

Ejercicio 1 (2'53")     Sinopsis:

Calcula la T.V.M. de f(x) = x2 + 2; en [1,4].

Ejercicio 2 (12'50")     Sinopsis:

Calcula la T.V.M. de:

a) d(t) = 3t + 1; en [0,1] y [1,2].
b) d(t) = t2 + 1; en [0,3] y [2,3].
Ejercicio 3 (2'48")     Sinopsis:

A partir de la gráfica, determina el intervalo en el cual la T.V.M. de la función es -4.

Ejercicio 4 (2'34")     Sinopsis:

A partir de la tabla, determina la T.V.M. de la función en el intervalo [-5, -2].

Ejercicio 5 (7'27")     Sinopsis:

Dada la función y=\cfrac{1}{8}x^3-x^2\;, ¿sobre qué intervalo tiene T.V.M. igual a 1/2: [-2,2], [0,4], [-3,2]?

Ejercicio 5 (10´20")     Sinopsis:

Cálcula la T.V.M. de y=x^2 \, , \ y= \frac{1}{x} \, , \ y= 2^x en el intervalo [x, x+h].

video
Tasa de variación media
Actividad     Descripción:

En esta escena podrás calcular la T.V.M. de la función que tú quieras.

Autoevaluación     Descripción:

Tasa de variación media.

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