Vectores: Coordenadas (1ºBach)

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Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

Tabla de contenidos

1 Base de vectores en el plano
- 1.1 Base ortogonal y ortonormal
- 1.2 Base canónica de los vectores del plano
2 Coordenadas de un vector respecto de una base
3 Operaciones con vectores dados por coordenadas
4 Ejercicios propuestos

(Pág. 174)

Base de vectores en el plano

Proposición

Dados dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones, cualquier vector del plano, $\vec{v}$ , se puede poner como combinación lineal de ellos:

$\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{y}$

Esta combinación lineal es única, es decir, sólo existen dos números $a\,$ y $b\,$ para los que se cumple la igualdad anterior.

Demostración:

1ª parte (Existencia):

Para la demostración de la primera parte tienes el siguiente videotutorial:

Dos vectores no paralelos generan plano (18´21") Sinopsis:

Veremos en este video una comprobación geométrica y otra analítica del siguiente resultado:

Dados dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones, cualquier vector del plano, $\vec{v}$ , se puede poner como combinación lineal de ellos:

$\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{x}$

Nota: En el video hace uso de la regla de Cramer, que se ve en el próximo curso, para resolver un sistema 2x2. También lo puedes resolver, usando en su lugar, el método de sustitución.

2ª parte (Unicidad):

Para la demostración de la segunda parte razonaremos por reducción al absurdo. Supondremos que existen dos combinaciones lineales distintas y llegaremos a una contradicción con la hipótesis de partida.

Supongamos que existe dos combinaciones lineales distintas:

$\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{y}$

$\vec{v}=a' \vec{x}+b' \vec{y}$

con $a \ne a'$ y $b \ne b'$

Igualando ambas expresiones:

$a \vec{x}+b \vec{y}=a' \vec{x}+b' \vec{y}$

de donde:

$(a-a') \vec{x}=(b'-b) \vec{y}$

Y como $a \ne a'$ , podemos pasar dividiendo (a-a') que es distinto de cero:

$\vec{x}=\cfrac{(b'-b)}{(a-a')} \vec{y}$

Pero esta expresión nos dice que los vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ son proporcionales y que, por tanto, tienen la misma dirección. Esto contradice la hipótesis de partida.

Estos resultados permiten dar la siguiente definición:

Se llama base de un conjunto de vectores del plano a dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones. La representaremos por $B(\vec{x},\vec{y})$ .

De esta manera, la proposición anterior se pueden expresar de la siguiente manera:

Teorema de la base

Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores de una base, de forma única.

Base ortogonal y ortonormal

Si los dos vectores de una base del plano son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además ambos tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal.

Base canónica de los vectores del plano

La base canónica o base usual de los vectores del plano, que es una base ortonormal qu representaremos por $B(\vec{i}, \vec{j}$ y cutos vectores se caracterizan por fijarse a un punto de aplicación común, que es el punto de origen del sistema de referencia o punto cero y que tienen por direcciones la de los ejes de coordenadas, y sentido el de los semiejes positivos.

Base canónica (9´49") Sinopsis:

Base canónica de vectores del plano.

Nota: En la segunda parte del video se trata el caso de vectores tridimensionales.

Coordenadas de un vector respecto de una base

Dada una base del plano $B(\vec{x},\vec{y})$ , por el teorema de la base, sabemos que cualquier vector $\vec{v}$ se puede poner como combinación lineal de los vectores de dicha base, de forma única:

$\vec{v}=a \vec{x}+b \vec{y}$

Al par de números $(a,b)\,$ los llamaremos las coordenadas del vector $\vec{v}$ respecto de la base $B(\vec{x},\vec{y})$ . Lo expresaremos $\vec{v}=(a,b)$ , o bien, $\vec{v}(a,b)$ .
Las coordenadas de los vectores de la base son $\vec{x}(1,0)$ e $\vec{y}(0,1)$ , ya que $\vec{x}=1 \vec{x}+0 \vec{y}$ y $\vec{y}=0 \vec{x}+1 \vec{y}$ .

Combinación lineal de vectores. Bases Descripción:

En esta escena podrás poner un vector como combinación lineal de los vectores de una base y obtener sus coordenadas respecto de ella.

Autoevaluación: Combinación lineal de vectores. Bases Descripción:

Ejercicio de autoevaluación en el que podrás poner un vector como combinación lineal de otros dos no alineados y que, por tanto, constituyen una base de vectores del plano. En consecuncia podrás averiguar sus coordenadas respecto de dicha base, que serán los números por los que hay que multiplicar los vectores de la base para obtener el vector dado.

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Sean $\vec{u}=(x_1,y_1)$ y $\vec{v}=(x_2,y_2)$ dos vectores del plano:

Suma de vectores: $\vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
Producto por un número k: $k \vec{u}=(k \, x_1,k \, y_1)$
Combinación lineal: $a \vec{u}+b \vec{v}=(a \, x_1+ b \, x_2, a \, y_1+b \, y_2)$

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Actividad: Operaciones con vectores dados por coordenadas

Sean $\vec{u} =(-2,1)$ y $\vec{v} =(1,2)$ . Representa y halla las coordenadas de los siguientes vectores:

a) $4 \vec{u}$

b) $\vec{u}- \vec{v}$

c) $3 \vec{u} +2 \vec{v}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) vector 4(-2,1)

b) vector (-2,1)-(1,2)

c) vector 3(-2,1)+2(1,2)

(Pág. 175)

Ejercicios resueltos: Operaciones con vectores dados por coordenadas

1. Sean $\vec{u}=(2,3)$ y $\vec{v}=(5,-2)$ . Halla y comprueba gráficamente que:

a) $3 \, \vec{u} = (6,9)$

b) $\vec{u}+\vec{v} = (7,1)$

2. Sean $\vec{u}=(0,-1)$ , $\vec{v}=(-1,0)$ y $\vec{w}=(2,-3)$ .

Calcula "a" y "b" para que $\vec{w}=a\, \vec{u} + b\, \vec{v}$ .

Solución:

1a) Utiliza la siguiente escena:

Producto de un vector por un número Descripción:

En esta escena podrás ver como se multiplica un vector por un número.

1b) Utiliza la siguiente escena:

Suma y resta de vectores Descripción:

En esta escena podrás ver como se suman y restan vectores.

2) Soluciones: a = 3; b = -2

Compruébalo en la siguiente escena:

Combinación lineal de vectores. Bases Descripción:

En esta escena podrás poner un vector como combinación lineal de los vectores de una base y obtener sus coordenadas respecto de ella.

Operaciones con vectores dados por coordenadas

Operaciones con vectores (6´38") Sinopsis:

Suma y resta de vectores.
Multiplicación de un vector por un escalar.
Ejemplos y ejercicios.

Vectores en el plano (21´22") Sinopsis:

Sistema de coordenadas rectangulares. Ejemplos.
Vectores en el plano. Componentes. Ejemplos.
Suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar. Ejemplos.

Interpretación geométrica de las operaciones con vectores (16´45") Sinopsis:

Interpretación geométrica de la suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar. Ejemplos.

Combinación lineal de vectores (20´33") Sinopsis:

Combinación lineal de vectores del plano.

Nota: En la segunda parte del video se trata el caso de vectores tridimensionales.

Suma de vectores. (24´12") Sinopsis:

Suma de vectores: método del paralelogramo.
Coordenadas del vector suma.
Propiedades de la suma de vectores.

Producto de un escalar por un vector. (20´52") Sinopsis:

Producto de un escalar por un vector
Propiedades
Vectores colineales

Ejercicio 1 (4´56") Sinopsis:

Encontrar la suma de los vectores dados e ilustrar gráficamente:

$\vec{u}=(-1,4)$ y $\vec{v}=(3,-2)$

Ejercicio 2 (5´44") Sinopsis:

Averigua si los vectores $\vec{u}=(3,-1)$ y $\vec{v}=(-9,3)$ son paralelos o no.

Ejercicio 3 (7´49") Sinopsis:

Si $\vec{a}=(3,2)$ , $\vec{b}=(2,-1)$ y $\vec{c}=(7,1)$ , encuentra $s, \, t \in \mathbb{R}$ tales que $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ .

Ejercicios 4 (10´17") Sinopsis:

Sean $\vec{u}=(2,1)\, , \ \vec{v}=(a,-1) \ y \ \vec{z}=(1,b)$ . Halla "a" y "b" en los siguientes casos:

a) $\vec{z}=8\vec{u}-5\vec{v}$

b) $2\vec{z}=7\vec{u}-4\vec{v}$

c) $\vec{z}=a\vec{u}-\vec{v}$

d) $\vec{z}=\vec{u}-a\vec{v}$

Ejercicios 5 (13´40") Sinopsis:

Demostración de que dados dos vectores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , con distintas direcciones, cualquier vector del plano, $\vec{v}$ , se puede poner como combinación lineal de ellos.
Ejercicio: Si $\vec{u}=(2,1)$ , $\vec{v}(3,-4)$ y $\vec{z}=(1,6)$ , expresa $\vec{z}$ como combinación lineal de los otros dos vectores.