Logaritmos

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Logaritmos
3 Propiedades de los logaritmos
4 Logaritmos decimales
- 4.1 Calculadora
5 Logaritmos neperianos
- 5.1 Calculadora
6 Ejercicios

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Introducción

La siguiente lista de reproducción condensa todo lo tratado en este tema:

Logaritmos (Lista de reproducción) Sinopsis:

Lista de reproducción que consta de 8 videos sobre logaritmos:

Definición de logaritmo
Logaritmo decimal y neperiano
Propiedades de los logaritmos
Cambio de base
Ejercicios I
Ejercicios 2
Problemas
Ecuaciones logarítmicas

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Logaritmos

Sea $a \in \mathbb{R}^+~,~(a \ne 1)$ . Se define el logaritmo en base a de un número real $P\;$ , y se designa por $log_a \ P$ , al exponente $x\;$ al que hay que elevar la base $a\;$ para obtener $P\;$ , es decir:

$log_a \ P=x \iff a^x=P$

Por consiguiente, podemos ver al logaritmo como la operación inversa de la potenciación.

Relación entre logaritmo y exponencial

Logaritmos en su forma exponencial:

Ejercicio 1 (1'36") Sinopsis:

Expresa en su forma exponencial equivalente la siguiente expresión logarítmica: $log_2 \, 8 = 3$

Ejercicio 2 (1'40") Sinopsis:

Expresa en su forma exponencial equivalente la siguiente expresión logarítmica: $log_x \, 32=4$

Ejercicio 3 (1'41") Sinopsis:

Expresa en su forma exponencial equivalente la siguiente expresión logarítmica: $log_{\sqrt{3}} \, 9=4$

Ejercicio 4 (1'49") Sinopsis:

Expresa en su forma exponencial equivalente la siguiente expresión logarítmica: $log_z \, \sqrt{12}=\cfrac{1}{3}$

Exponenciales en forma logarítmica:

Ejercicio 1 (1'40") Sinopsis:

Expresa en su forma logarítmica equivalente la siguiente expresión exponencial: $64^{\frac{1}{3}}=4$

Ejercicio 2 (1'36") Sinopsis:

Expresa en su forma logarítmica equivalente la siguiente expresión exponencial: $20^3=x\;$

Ejercicio 3 (1'43") Sinopsis:

Expresa en su forma logarítmica equivalente la siguiente expresión exponencial: $\left( \cfrac{2}{3} \right)^3=\cfrac{8}{27}$

Ejercicio 4 (1'40") Sinopsis:

Expresa en su forma logarítmica equivalente la siguiente expresión exponencial: $5^{-3x}=125\;$

Ejercicio 5 (1'50") Sinopsis:

Expresa en su forma logarítmica equivalente la siguiente expresión exponencial: $(3x+2)^2=141\;$

Ejercicios resueltos: Logaritmos

Hallar los siguientes logaritmos reconociendo la potencia correspondiente:

$log_3 \ 81,\ log_{10} \ 0.01,\ log_5 \ 0.2, \ log_2 \ 0.125$

Solución:

$log_3 \ 81=log_3 \ 3^4=4$
$log_{10} \ 0.01=log_{10} \ 10^{-2}=-2$
$log_5 \ 0.2=log_5 \ \cfrac{1}{5}=log_5 \ 5^{-1}=-1$
$log_2 \ 0.125=log_2 \ \cfrac{125}{1000}=log_2 \ \cfrac{1}{8}=log_2 \ 2^{-3}=-3$

Cálculo de logaritmos

Tutorial 1 (21'03") Sinopsis:

Tutorial que explica la definición de logaritmo y realiza el cálculo de algunos logaritmos exactos (resultado racional) para comprender el significado de esta operación matemática.

00:00 a 06:40: Introducción a logaritmo.
06:40 a 09:18: Definición de Logaritmo. Explicación.
09:18 a 15:52: Ejercicios con Logaritmos (I).
- 14:40 : Logaritmo no exacto.
15:52 a 21:03: Ejercicios de Logaritmos (II).

Tutorial 2 (7´38") Sinopsis:

Concepto de logaritmo de un número.

Tutorial 3 (18´39") Sinopsis:

Definición del logaritmo de un número. Ejemplos

Ejercicio 1 (1'58") Sinopsis:

Calcula: $log_5 \, 125$

Ejercicio 2 (14'51") Sinopsis:

Calcula:

a) $log_2 \, 4096$ b) $log_3 \, 2187$ c) $log_4 \, 1024$ d) $log_6 \, 1296$

Ejercicio 3 (2'12") Sinopsis:

Calcula: $log_3 \, 243$

Ejercicio 4 (2'10") Sinopsis:

Calcula: $log_5 \, 625$

Ejercicio 5 (2'36") Sinopsis:

Calcula: $log_{14} \, 196$

Ejercicio 6 (2'36") Sinopsis:

Calcula: $log_9 \, 729$

Ejercicio 7 (11'38") Sinopsis:

Calcula:

a) $log_3 \, 343$ b) $log_9 \, \sqrt[3]{81}$ c) $log \, 0.00001$ d) $log_7 \, \sqrt{\cfrac{1}{343}}$ e) $ln \, e^2$

Ejercicio 8 (10´15") Sinopsis:

Calcula:

a) $log_2 \, 8$ , b) $log_2 \, \cfrac{1}{16}$ , c) $log_4 \, 64$ , d) $log_4 \, \cfrac{1}{4}$

e) $log_4 \, 2$ , f) $log_8 \, 4$ , g) $log_8 \, 16$ , h) $log_{\frac{1}{3}} \, 9$

i) $log_{\frac{1}{3}} \, \cfrac{1}{81}$ , j) $log \, 0.01$ , k) $log \, 10000$ , l) $log_{\frac{2}{3}} \, \cfrac{81}{16}$

Ejercicio 9 (5´27") Sinopsis:

Resuelve:

$log_x \, 13 = -2$
$log_4 \, 5x = 2$
$log_{\sqrt{3}} \, (x-1) = 2$
$log_{\frac{1}{8}} \, x = -\cfrac{1}{3}$
$log_{x-5} \, 256 = 8$
$log_{\frac{1}{3}} \, 1 = x$

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Propiedades de los logaritmos

Propiedades de los logaritmos:

1: Igualdad y orden:

a) $P \ne Q \Rightarrow log_a \ P \ne log_a \ Q$ o equivalentemente,

$log_a \ P = log_a \ Q \Rightarrow P=Q$

b) $P < Q \Rightarrow log_a \ P < log_a \ Q, \quad si~ a>1$

c) $P < Q \Rightarrow log_a \ P > log_a \ Q, \quad si~ 0<a<1$

2: Logaritmo de la base:

a) $log_a \ a=1$

b) $log_a \ a^n=n$

c) $log_a \ 1=0$

3: Logaritmo de números negativos o nulos:

Si $P \le 0$ , entonces $log_a \ P$ no existe.

4: Logaritmo de un producto:

$log_a \ (P \cdot Q)=log_a \ P + log_a \ Q$

5: Logaritmo de un cociente:

$log_a \ \cfrac{P}{Q}=log_a \ P - log_a \ Q$

6: Logaritmo de una potencia:

$log_a \ P^n=n \cdot log_a \ P$

7: Logaritmo de una raíz:

$log_a \ \sqrt[n]{P}=\cfrac{1}{n} \cdot log_a \ P$

8: Cambio de base:

$log_a \ P=\cfrac{log_b \ P}{log_b \ a}$

Ejercicios resueltos: Propiedades de los logaritmos

Sabiendo que $log_2 \ A=3.5 \ y \ log_2 \ B=-1.4$ , calcula:

a) $log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4}$

b) $log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3}$

Solución:

a) $log_2 \ \cfrac{A \cdot B}{4} \begin{matrix}~_{[5]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ (A \cdot B) - log_2 \ 4=$

$\begin{matrix}~_{[4]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ A + log_2 \ B - log_2 \ 4=3.5-1.4-2=0.1$

b) $log_2 \ \cfrac{2 \sqrt{A}} {B^3} \begin{matrix}~_{[5]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ 2 \sqrt{A} - log_2 \ B^3 =$

$\begin{matrix}~_{[4]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} log_2 \ 2+ log_2 \sqrt{A} - log_2 \ B^3=1+ log_2 \ A^{\frac{1}{2}} - log_2 B^3=$

$\begin{matrix}~_{[6]}~ \\ ~=~ \\ ~ \end{matrix} 1+ \cfrac{1}{2} ~log_2 \ A - 3 \, log_2 \ B=1+ \cfrac{1}{2} \cdot 3.5 - 3 \cdot (-1.4) = 6.95$

Propiedades de los logaritmos

Tutorial 1 (25'59") Sinopsis:

Tutorial que explica la definición de logaritmo y realiza el cálculo de algunos logaritmos exactos (resultado racional) para comprender el significado de esta operación matemática.

00:00 a 03:10: Introducción a logaritmo. Ejercicios de repaso.
03:10 a 06:25: Propiedades Básicas.
06:25 a 08:30: Propiedad: Logaritmo de un Producto. Demostración.
08:30 a 09:20: Propiedad: Logaritmo de una Potencia. Demostración.
09:20 a 10:30: Propiedad: Logaritmo de un Cociente. Demostración.
10:30 a 13:45: Propiedad: Cambio de Base. Demostración.
13:45 a 25:59: Ejercicios de Logaritmos.

Tutorial 2 (13´22") Sinopsis:

Demostración de las propiedades de los logaritmos.

Tutorial 3 (12´43") Sinopsis:

Definición del logaritmo de un número. Propiedades. Ejemplos

Identidad fundamental del logaritmo (7´58") Sinopsis:

Identidad fundamental del logaritmo. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de un producto (15'28") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de un producto. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de un cociente (12'34") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de un cociente. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de una potencia (10'57") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de una potencia. Ejemplos de aplicación.

Logaritmo de una raíz (15'24") Sinopsis:

Demostración de la propiedad del logaritmo de una raíz. Ejemplos de aplicación.

Desarrollo de logaritmos usando las propiedades:

Ejercicio 1 (2´34") Sinopsis:

Desarrolla: $log_4 \, 8^2 \;$

Ejercicio 2 (4´24") Sinopsis:

Desarrolla: $ln \, 5x^3yz^4 \;$

Ejercicio 3 (4´38") Sinopsis:

Desarrolla: $ln \, \cfrac{xy^2}{e^3z^4} \;$

Ejercicio 4 (4´47") Sinopsis:

Desarrolla: $log_e \, \sqrt[4]{e^3x^5} \;$

Ejercicio 5 (3´43") Sinopsis:

Desarrolla: $log_3 \, \cfrac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[3]{y}} \;$

Ejercicio 6 (5´28") Sinopsis:

Desarrolla: $log_5 \, \cfrac{5^x(1-x)}{y^x(x-y^2)} \;$

Expresar como un solo logaritmo:

Ejercicio 1 (2´07") Sinopsis:

Expresar como un solo logaritmo: $2 log \, x - 3 log \, y$

Ejercicio 2 (2´15") Sinopsis:

Expresar como un solo logaritmo: $2 ln \, 3 + y ln \, x$

Ejercicio 3 (2´54") Sinopsis:

Expresar como un solo logaritmo: $ln \, 4 + 2x$

Ejercicio 4 (3´59") Sinopsis:

Expresar como un solo logaritmo: $2+log_6 \, x - log_6 \, z$

Ejercicio 5 (2´30") Sinopsis:

Expresar como un solo logaritmo: $log_7 \, x - log_7 \, y - log_7 \, z$

Varios:

Ejercicio 1 (3´19") Sinopsis:

Si $a=ln \, 2$ y $b=ln \, 3$ , expresa $ln \, \cfrac{8}{9}$ en términos de a y b.

Ejercicio 2 (5´13") Sinopsis:

Si $ln \, A=5$ , $ln \, B=-2$ y $ln \, C=-7$ , encuentra el valor numérico de la expresión $ln \, \cfrac{A^3 B^4}{C^6}$ .

Ejercicio 3 (3´23") Sinopsis:

Escribe como un solo logaritmo: $\cfrac{1}{3}\,log\,A+\cfrac{1}{2}\,\left( log\,B - log\,C \right)$ .

Ejercicio 4 (10´38") Sinopsis:

a) Hallar "m" sabiendo que $log_m \, 5=2\;$ .

b) Hallar "x" sabiendo que $log_{(x-1)} \, (x+5)=2\;$ .

b) Sabiendo que $log \, 2=a\;$ y que $log \, 2=b\;$ , calcula $log \, 360\;$ .

Ejercicio 5 (15´11") Sinopsis:

a) Hallar "x" sabiendo que $4^{log_x \, 6 \, \cdot \, log_6 \, y \, \cdot \, log_y \, x^4}=x^{log_x \, 4^x}\;$ .

b) Sabiendo que $log \, ab^2=1\;$ y que $log \, a^3b=1\;$ , halla $a \cdot b\;$ .

Ejercicio 6 (13´34") Sinopsis:

a) Reduce: $P=\cfrac{1}{1+log_a \, bc}+ \cfrac{1}{1+log_b \, ac}+\cfrac{1}{1+log_c \, ab}$ .

b) Hallar "x" si $1+2\,log \, x - log \, (x+2)=0\;$ .

Ejercicio 7 (9´34") Sinopsis:

Desarrolla los siguientes logaritmos:

$log \, \cfrac{5z^3u^2}{2x^7}$
$log \, \cfrac{1}{2z^5 \sqrt{u}}$
$log_6 \, \cfrac{2x+3z}{u^5}$
$ln \, \sqrt[3]{\cfrac{x}{z^2u^7}}$
$log_k \, \sqrt{ k \, \sqrt {k\, {\sqrt{k}}}}$

Ejercicios 8 (8´45") Sinopsis:

Reduzca las siguientes expresiones a un solo logaritmo:

$2 \, log \, x - 3 \, log \, z$
$\cfrac{1}{3} \; log \, (x+z) - \cfrac{1}{2} \; log \, (x-z)$
$2 - 3 \, log \, x + \cfrac{1}{5} \; log \, z$
$3 - \cfrac{1}{2} \, log_2 \, (x-2z) - 6 \, log_2 \, x$
$1 + 3 \, ln \ x^2 - \cfrac{2}{5} \; ln \, (1+x)$

Ejercicio 9 (7´13") Sinopsis:

Ejercicios:

Expresa $log \, \cfrac{0.016^5 \cdot 20}{\sqrt{128}}$ en función de log 2.
Expresa $log \, \cfrac{12 \sqrt[3]{36}}{\sqrt{0.09^3 \cdot 160}}$ en función de log 2 y log 3.

Ejercicio 10 (6´18") Sinopsis:

Resuelve:

Si un número se multiplica por 49, su logaritmo (en base desconocida) aumenta en 2 unidades. Halla la base.
Resuelve la ecuación $log_x \, 12 + log_x \, 3 = 2$
Determina el menor entero que satisface la condición $2.43^x > 13 \;$
Determina el mayor real que satisface la condición $2.51^x \le 7 \;$

El antilogaritmo (9´31") Sinopsis:

Definición del antilogaritmo de un número. Ejemplos.

Nota: El antilogaritmo es como la inversa del logaritmo, es decir, la exponencial.

El cologaritmo (10´50") Sinopsis:

Definición de cologaritmo de un número. Ejemplos.

Nota: El cologaritmo es igual al opuesto del logaritmo.

Regla de la cadena (16´55") Sinopsis:

Demostración de la regla de la cadena, una generalización de la fórmula del cambio de base:

$log_b \, a \cdot log_a \, c \cdot log_c \, d = log_b \, d$

Regla del intercambio (11´25") Sinopsis:

Demostración de la regla del intercambio:

$a^{log_b \, c} = c^{log_b \, a}$

Ejercicio 1 (15´24") Sinopsis:

a) Calcula: $antilog_2 \, (log_2 \, 8)\;$ .

b) Halla "x": $antilog_{x/2} \, 4=x\;$ .

c) Halla "x": $colog_3 \, (antilog_3 \, (log_3 \, 9))\;$ .

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Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales son aquellos de base 10. En vez de representarlos por $log_{10}\;$ , los representaremos, simplemente, por $log\;$ . Esto es:

$log_{10} \ P=log \ P$

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Calculadora

Calculadora: Logaritmo decimal

Para calcular logaritmos decimales usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\log \ 100$

Procedimiento: $100\;\!$

Solución: $2\;\!$

Antes de la existencia de las calculadoras, los logaritmos decimales se obtenían a partir de las llamadas tablas logarítmicas.

Haciendo uso de la propiedad del cambio de base, vista en un apartado anterior, podemos calcular logaritmos en cualquier base utilizando logaritmos decimales. He aquí un ejemplo:

Logaritmos

Actividad: Logaritmos

a) Calcula: $log \ 0.1, \ log_2 \ {16}, \ ln \ {e^2}$ .

b) Averigua la relación entre x e y sabiendo que $ln y = x + ln \ 7 \;$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) log_10 0.1 log_2 16 log e^2

b) log y = x + log 7

Ejemplo: Cambio de base

Usa la calculadora para hallar $log_2 \ 11$ .

Solución:

Como la calculadora científica no tiene logaritmos en base 2, mediante la fórmula del cambio de base haremos un cambio de base 2 a base 10:

$log_2 \ 11=\cfrac{log \ 11}{log \ 2}=3,45943...$

ya que $log \ 2$ y $log \ 11$ se pueden obtener directamente con la calculadora.

Cambio de base de logaritmos

Tutorial (7´16") Sinopsis:

Demostración de la fórmula del cambio de base y ejemplos usando la calculadora.

Sin usar la calculadora:

Ejercicio 1 (1´17") Sinopsis:

Sin usar la calculadora, calcula: $\cfrac{log_5 \ 16}{log_5 \ 4}$

Ejercicio 2 (3´07") Sinopsis:

Sin usar la calculadora, calcula: $\cfrac{log_6 \ 8}{log_6 \ 2}$

Ejercicio 3 (5´22") Sinopsis:

Sin usar la calculadora, calcula: $\cfrac{log_3 \ 0.001}{log_3 \ 10}$

Ejercicio 4 (2´27") Sinopsis:

Sin usar la calculadora y teniendo en cuenta que $log_8 \ 4 =\cfrac{2}{3}$ ,

calcula:

Usando la calculadora:

Ejercicio 1 (2´02") Sinopsis:

Calcula: $log_4 \ 23\;$

Ejercicio 2 (2´15") Sinopsis:

Calcula: $log_9 \ 0.2\;$

Ejercicio 3 (2´12") Sinopsis:

Calcula: $log_6 \ \cfrac{1}{2}\;$

Ejercicio 4 (3´36") Sinopsis:

Calcula: $log_{32} \ 16\;$

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Logaritmos neperianos

Los logaritmos neperianos o logaritmos naturales son aquellos cuya base es el número e (2.71828...). En vez de representarlos por $log_{e}\;$ , los representaremos, simplemente, por $ln\;$ . Esto es: