Plantilla:Teorema: raíces enteras de un polinomio

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ejercicio

Teorema

Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.

Demostración:

Demostración:

En efecto, sea x=a\; una raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

Entonces, como P(a)=0\;, tendremos que

P(a)=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a+a_0=0

de donde, despejando el termino independiente

-a_0=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a
Como el miembro de la derecha contiene al factor a\; en todos sus sumandos, es un múltiplo de a\;, entonces a_0\; también. Luego a\; divide al término independiente.
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