Plantilla:Teorema del resto
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Teorema del Resto
El valor que toma un polinomio, , cuando hacemos
, coincide con el resto de la división de
entre
. Es decir,
, donde
es el resto de dicha división.
Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:
![P(x)=Q(x)C(x) + R(x)\,,](/wikipedia/images/math/a/7/4/a74c73b4615915c6dbc971fa641cd275.png)
donde es el dividendo,
el divisor,
el cociente y
el resto y verificándose además, que el grado de
es menor que el grado de
.
En efecto, si tomamos el divisor , entonces
tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar
, y la fórmula anterior se convierte en:
![P(x)=(x-a)c(x) + r\,.](/wikipedia/images/math/c/5/c/c5c67b9fbff5c0f895adc3ce49964d9e.png)
Tomando el valor se obtiene que:
![\frac{}{}P(a)=r](/wikipedia/images/math/e/5/d/e5dbe704d98ed3549594b6696727ef76.png)
Ejemplo: Teorema del Resto
Calcula el resto de dividir el polinomio entre
Primer método:
Bastará calcular
Así el resto será
Segundo método:
Usando la regla de Ruffini:
| 1 -3 0 -7 | 2| 2 -2 -4 --|---------------- | 1 -1 -2 |-11 |____Así, el resto de la división es -11, y por el teorema del resto, P(2) = -11.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Teorema del resto. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Si P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x). La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
- Teorema del resto para la división de un polinomio entre un binomio del tipo (ax+b).
- Como ejemplo, también resolveremos los siguientes ejercicios:
- 1) Halla el resto de dividir el polinomio
entre el binomio
.
- 2) Halla el resto de dividir el polinomio
entre el binomio
.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Halla el resto de la división del polinomio entre
.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Halla el valor de para que la división del polinomio
entre
sea exacta.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
1) Halla el resto de la división del polinomio entre
,
,
y
.
2) Determina el valor de k para que el polinomio sea divisible por
.
3) Sea . Halla el valor de k para que el resto de la división de
entre
sea igual a 2.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
a) Halla el resto de la división de entre
.
b) y c) Otros dos ejercicios de nivel superior.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre el teorema del resto.