Vectores: Producto escalar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Producto escalar de vectores
2 Propiedades del producto escalar
3 El producto escalar con bases ortonormales
4 Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)
5 Producto escalar en el espacio tridimensional (Ampliación)

Producto escalar de vectores

Se llama producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}| \, |\vec{v}| \, cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})$

Nota: [Mostrar]

Producto escalar de dos vectores (19´54") Sinopsis:[Mostrar]

Propiedades del producto escalar

Propiedad fundamental del producto escalar

Propiedades (1)

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ó $\vec{v}=\vec{0}$ entonces $\vec{u} \cdot \vec{v}=0$ .

$\forall \, \vec{u} \, , \vec{v} \ne \vec{0}$ se cumple que $\vec{u} \bot \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v}=0$

Demostración:[Mostrar]

Vectores ortogonales (7´44") Sinopsis: [Mostrar]

Signo del producto escalar

Propiedades (2)

El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:

$\vec{u} \cdot \vec{v}>0$ si $\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ es agudo.
$\vec{u} \cdot \vec{v}<0$ si $\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ es obtuso.

Demostración:[Mostrar]

Signo del producto escalar de vectores Descripción: [Mostrar]

Propiedades del producto escalar

Propiedades (3)

Conmutativa: $\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}$

Asociativa mixta: $\lambda (\vec{u} \cdot \vec{v})=(\lambda \vec{u}) \cdot \vec{v}= \vec{u} \cdot (\lambda \vec{v})\, , \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$

Distributiva: $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$

$\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$

Demostración:[Mostrar]

Proyección de vectores y producto escalar

Llamaremos proyección del vector $\vec{v}$ sobre el vector $\vec{u}$ , al número

$proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=|v| \, \cos \, \alpha \qquad$

siendo $\alpha= \widehat{\vec{u}, \, \vec{v}}$ el ángulo que forman los dos vectores.

Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea $cos \, \alpha$ .

Gráficamente es como la sombra (ver segmento rojo en figura adjunta) que proyecta $\vec{v}$ perpendicularmente sobre $\vec{u}$ , si pusieramos una luz encima de ellos.

Nota: [Mostrar]

Proposición (4)

El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

$\vec{u} \cdot \vec{v} \, = \, |\vec{v}| \, proy_{\vec{v}}\, \vec{u} \, = \, |\vec{u}| \, proy_{\vec{u}}\, \vec{v}$

En consecuencia:

$proy_{\vec{v}}\, \vec{u}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \qquad proy_{\vec{u}}\, \vec{v}=\cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|}$

Demostración:[Mostrar]

Nota: [Mostrar]

Ejercicio (6´25") Sinopsis: [Mostrar]

Corolario (5): Proyecciones coincidentes

Si las proyecciones sobre $\vec{v}$ de $\vec{u_1}$ y de $\vec{u_2}$ coinciden, entonces:

$\vec{u_1} \cdot \vec{v}= \vec{u_2} \cdot \vec{v}$

Demostración:[Mostrar]

Proyecciones de vectores Descripción: [Mostrar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Producto escalar

(Pág. 176)

1; 2; 3a,c,e; 4

3b,d,f; 5

El producto escalar con bases ortonormales

Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

Proposición (6)

Sea $B(\vec{x},\vec{y})$ una base ortonormal, entonces

$\vec{x} \cdot \vec{x}=1 \qquad \vec{y} \cdot \vec{y}=1 \qquad \vec{x} \cdot \vec{y}=0$

Demostración:[Mostrar]

Proposición (7)

Si las coordenadas de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , respecto de una base otonormal $B(\vec{x},\vec{y})$ son $\vec{u}(x_1,y_1)$ y $\vec{v}(x_2,y_2)$ , entonces:

$\vec{u} \cdot \vec{v}=x_1 \, x_2 + y_1 \, y_2$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: [Mostrar]

Producto escalar de vectores (7´23") Sinopsis: [Mostrar]

Producto escalar de vectores Descripción: [Mostrar]

Producto escalar de vectores [Mostrar]

Vector ortogonal a otro

Proposición (8)

Los vectores de coordenadas $\vec{u}(a,b)$ y $\vec{v}(-b,a)$ , respecto de una base ortonormal, son ortogonales.

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: [Mostrar]

Ejemplo:

Calcula el valor de $x\,$ para que el vector $\vec{u}(x,1)$ sea ortogonal a $\vec{v}(-2,5)$ , respecto de una base ortonormal.

Solución:[Mostrar]

Producto escalar de vectores ortogonales (4´54") Sinopsis:[Mostrar]

Producto escalar de vectores ortogonales Descripción: [Mostrar]

Módulo de un vector en una base ortonormal

Proposición (9)

El módulo de un vector $\vec{v}(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, es

$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: [Mostrar]

Módulo de un vector [Mostrar]

Vectores unitarios Descripción: [Mostrar]

Módulo de un vector [Mostrar]

Ángulo de dos vectores en una base ortonormal

Proposición (9)

Dados dos vectores, $\vec{u}(u_1,u_2)$ y $\vec{v}(v_1,v_2)$ , respecto de una base otonormal, se cumple que

$cos \, (\widehat{\vec{u}, \, \vec{v}})=\cfrac{u_1 \, v_1 + u_2 \, v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2} \, \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: [Mostrar]

Ángulo de dos vectores en una base ortonormal [Mostrar]

Ángulo entre vectores [Mostrar]

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Producto escalar con bases ortonormales

(Pág. 178)

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo)

En estos videotutoriales se va partir de la proposición (7) como definición de producto escalar y se va a deducir como resultado la definición de la que hemos partido al comienzo de este capítulo.

Producto escalar de vectores (enfoque alternativo) [Mostrar]