Elementos geométricos básicos (1º ESO)

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Tabla de contenidos

Introducción

El plano

Desde los inicios de la historia, el ser humano ha intentado representar su entorno visual dibujando los objetos y figuras que lo rodean.

Para ello ha necesitado disponer de alguna superficie sobre la que trazar puntos, líneas, círculos u otras figuras. Desde los petroglifos esculpidos en piedra a las pinturas renacentistas o a los modernos planos utilizados en la arquitectura o la ingeniería, disponemos de innumerables ejemplos de representaciones elaboradas sobre superficies más o menos planas.

El plano es por lo tanto un objeto que cobra importancia para la geometría, ya que nos permite representar figuras sobre él.

Un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, no posee volumen. Se nombran mediante letras griegas: α (alfa), β (beta)...

Representación gráfica informal de un plano.
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Representación gráfica informal de un plano.

Puntos y rectas

Dentro del plano distinguimos dos elementos fundamentales, tal y como Euclides, considerado como el primer gran matemático de la historia, los definió: el punto y la recta.
  • Punto: es una figura geométrica sin dimensión. No tiene longitud, ni anchura, ni volumen.
    • Sirve para indicar una posición.
    • Se nombran con letras mayúsculas: A, B, C,....
  • Recta: es una figura geométrica unidimensional. Tiene longitud, pero no anchura, ni volumen.
    • Contiene un número infinito de puntos que se extienden en una línea siguiendo una misma dirección.
    • Se designan mediante dos de sus puntos o mediante una letra minúscula: r, s, t, ...

Junto con el plano, el punto y la recta son considerados "conceptos primarios", es decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos.

Representación gráfica de puntos y recta en el plano.
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Representación gráfica de puntos y recta en el plano.

Segmentos y semirrectas

Tomemos dos puntos distintos sobre el plano y unámoslos mediante una línea. Existen desde luego muchas maneras de hacerlo, pero hay una de ellas que es la más corta entre todas las posibles. A esta línea más corta que une dos puntos la llamamos segmento.
  • Segmento: es la porción de recta comprendida entre dos puntos.
    • Si designamos los dos puntos con las letras A y B, designaremos AB al segmento que los une y \overline{AB} a su longitud.
    • Los puntos A y B se denominan los extremos del segmento.
  • Semirrecta: es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos.
    • Se designan con letras minúsculas.
    • Al punto por el que dividimos la recta lo llamaremos origen de las semirrectas.
Representación gráfica de un segmento AB y de una semirrecta, s.
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Representación gráfica de un segmento AB y de una semirrecta, s.

Propiedades de las rectas

Existen algunas propiedades de la recta que, a pesar de lo sencillas que resultan absolutamente esenciales para la geometría. Estas son algunas de ellas:
ejercicio

Propiedades


  1. Dados dos puntos distintos en un plano, existe una única recta que los une.
  2. Toda recta divide al plano en dos regiones, llamadas semiplanos.

La recta r divide al plano en dos semiplanos.
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La recta r divide al plano en dos semiplanos.

Posiciones relativas de dos rectas

Si trazamos dos rectas sobre el plano, pueden ocurrir varios casos distintos: que coincidan, que se corten en un punto o que no se corten. Así tenemos:

  • Rectas coincidentes: Son dos rectas que se superponen. Tienen infinitos puntos en común. (r = s)
  • Rectas secantes: Son dos rectas que se cortan. Tienen un solo punto en común.
  • Rectas paralelas: Son dos rectas que no se cortan. No tienen ningún punto en común. (r | | s)

Imagen:posi_rectasEjemplo.jpg

ejercicio

Propiedad


Por cualquier punto exterior a una recta se puede trazar una única recta paralela a ella.

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si dividen al plano en cuatro regiones de igual amplitud.

Para indicar que dos rectas son perpendiculares lo representaremos con un cuadradito, tal y como se puede ver en la figura adjunta.

Dada una recta y un punto sobre ella, existe una única recta que contiene a este punto y es perpendicular a la recta, como podrás ver en la siguiente actividad.

Rectas perpendiculares.
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Rectas perpendiculares.

Distancia entre dos rectas paralelas

  • La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta.
  • La distancia ente dos rectas paralelas es la distancia de cualquier punto de una a la otra.

La distancia de P a r es la longitud

del segmento PQ perpendicular a r

La distancia entre las dos rectas paralelas es la longitud

del segmento PQ perpendicular a ambas rectas

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