Plantilla:Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a infinito

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Proposición

Sea $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\;$ una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

$\lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}$
$\lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to - \infty} a_nx^n = \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\ +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar} \end{cases}$

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

Ejemplos:

$\lim_{x \to + \infty} 5x^4-2x^2 = \lim_{x \to + \infty} 5x^4 = + \infty$

$\lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = \lim_{x \to + \infty} -3x^4= - \infty$

$\lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} -2x^3 = + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} -2x^2 = - \infty$

$\lim_{x \to - \infty} 2x^3-2x^2 = \lim_{x \to - \infty} 2x^3 = - \infty$

$\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^3-1}{-5} = \lim_{x \to - \infty} -\cfrac{1}{5}x^3 + \cfrac{1}{5} = \lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{5}x^3 = + \infty$

Límite de un polinomio en el infinito

Tutorial 1 (9'59") Sinopsis:

Al calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞) sólo debes preocuparte del sumando de mayor grado, pues es él quien corta el bacalao.

Tutorial 2 (15'57") Sinopsis:

Otra forma de calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞). También se incluyen otros casos de funciones radicales que tienen un tratamiento similar.

Ejercicios 1 (12'02") Sinopsis:

Ejercicios de límites de funciones polinómicas.

Ejercicios 2 (8'05") Sinopsis:

Ejercicios de límites de funciones polinómicas.

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